Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7798
2018-05-31 
Однородный стержень массы $m$ и длины $l$ совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Найти среднюю за период колебания кинетическую энергию стержня, если в начальный момент его отклонили от вертикали на угол $\theta_{0}$ и сообщили ему угловую скорость $ \dot{ \theta_{0}}$.
Решение:
Момент инерции стержня равен $\frac{ml^{2} }{3}$
Таким образом, кинетическая энергия вращения стержня $= \frac{1}{2} \left ( \frac{ml^{2} }{3} \right ) \dot{ \theta}^{2} = \frac{ml^{2} }{6} \dot{ \theta}^{2}$
когда стержень смещен на угол $\theta$ его центр тяжести поднимается на расстояние $\frac{l}{2} (1 - \cos \theta) \approx \frac{l \theta^{2} }{4}$ при малых $\theta$.
Таким образом, потенциальная энергия равна: $mg \frac{l \theta^{2} }{4}$
Поскольку механическая энергия колебаний стержня сохраняется.
$\frac{1}{2} \left ( \frac{ml^{2} }{3} \right ) \dot{ \theta}^{2} + \frac{1}{2} \left ( \frac{mgl}{2} \right ) \theta^{2} = const$
при дифференцировании уравнения по времени и после упрощения получаем: $\ddot{ \theta} = - \frac{3g}{2l} \theta$ при малых $\theta$. Мы видим, что угловая частота равна
$\omega = \sqrt{3g/2l}$
Запишем общее решение как:
$\theta = A \cos \omega t + B \sin \omega t$
Но $\theta = \theta_{0}$ при $t = 0$, поэтому $A= \theta_{0}$
и $\dot{ \theta} = \dot{ \theta}_{0}$ при $t = 0$, поэтому
$B = \dot{ \theta}_{0} / \omega$
Таким образом $\theta = \theta_{0} \cos \omega t + \frac{ \dot{ \theta}_{0} }{ \omega} \sin \omega t$
Таким образом, кинетическая энергия стержня
$T = \frac{ml^{2} }{6} \dot{ \theta}^{2} = ( - \omega \theta_{0} \sin \omega t + \dot{ \theta}_{0} \cos \omega t )^{2} = \frac{ml^{2} }{6} ( \dot{ \theta}_{0}^{2} \cos^{2} \omega t + \omega^{2} \theta_{0}^{2} \sin^{2} \omega t - 2 \omega \theta_{0} \dot{ \omega }_{0} \sin \omega t \cos \omega t )$
Последнее слагаемое исчезает и $\langle \sin^{2} \omega t \rangle = \langle \cos^{2} \omega t \rangle = 1/2$. Таким образом
$\langle T \rangle = \frac{1}{12} ml^{2} \dot{ \theta}_{0}^{2} + \frac{1}{8}mgl^{2} \theta_{0}^{2}$ (где $\omega_{0}^{2} = 3g / 2l$)
Однородный стержень массы $m$ и длины $l$ совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Найти среднюю за период колебания кинетическую энергию стержня, если в начальный момент его отклонили от вертикали на угол $\theta_{0}$ и сообщили ему угловую скорость $ \dot{ \theta_{0}}$.
Решение:
Момент инерции стержня равен $\frac{ml^{2} }{3}$
Таким образом, кинетическая энергия вращения стержня $= \frac{1}{2} \left ( \frac{ml^{2} }{3} \right ) \dot{ \theta}^{2} = \frac{ml^{2} }{6} \dot{ \theta}^{2}$
когда стержень смещен на угол $\theta$ его центр тяжести поднимается на расстояние $\frac{l}{2} (1 - \cos \theta) \approx \frac{l \theta^{2} }{4}$ при малых $\theta$.
Таким образом, потенциальная энергия равна: $mg \frac{l \theta^{2} }{4}$
Поскольку механическая энергия колебаний стержня сохраняется.
$\frac{1}{2} \left ( \frac{ml^{2} }{3} \right ) \dot{ \theta}^{2} + \frac{1}{2} \left ( \frac{mgl}{2} \right ) \theta^{2} = const$
при дифференцировании уравнения по времени и после упрощения получаем: $\ddot{ \theta} = - \frac{3g}{2l} \theta$ при малых $\theta$. Мы видим, что угловая частота равна
$\omega = \sqrt{3g/2l}$
Запишем общее решение как:
$\theta = A \cos \omega t + B \sin \omega t$
Но $\theta = \theta_{0}$ при $t = 0$, поэтому $A= \theta_{0}$
и $\dot{ \theta} = \dot{ \theta}_{0}$ при $t = 0$, поэтому
$B = \dot{ \theta}_{0} / \omega$
Таким образом $\theta = \theta_{0} \cos \omega t + \frac{ \dot{ \theta}_{0} }{ \omega} \sin \omega t$
Таким образом, кинетическая энергия стержня
$T = \frac{ml^{2} }{6} \dot{ \theta}^{2} = ( - \omega \theta_{0} \sin \omega t + \dot{ \theta}_{0} \cos \omega t )^{2} = \frac{ml^{2} }{6} ( \dot{ \theta}_{0}^{2} \cos^{2} \omega t + \omega^{2} \theta_{0}^{2} \sin^{2} \omega t - 2 \omega \theta_{0} \dot{ \omega }_{0} \sin \omega t \cos \omega t )$
Последнее слагаемое исчезает и $\langle \sin^{2} \omega t \rangle = \langle \cos^{2} \omega t \rangle = 1/2$. Таким образом
$\langle T \rangle = \frac{1}{12} ml^{2} \dot{ \theta}_{0}^{2} + \frac{1}{8}mgl^{2} \theta_{0}^{2}$ (где $\omega_{0}^{2} = 3g / 2l$)
