Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7795
2018-05-31 
Найти частоту малых колебаний тонкого однородного вертикального стержня массы $m$ и длины $l$, который шарнирно укреплен в точке О (рис.). Суммарная жесткость пружин $\chi$. Массы пружин пренебрежимо малы.
Решение:
Рассмотрим стержень в положении, когда он образует угол $\theta$ от вертикали. В этой задаче как силы тяжести, так и силы пружины консервативные силы, таким образом, из сохранения механической энергии колебаний системы:
$\frac{1}{2} \frac{ml^{2} }{3} ( \dot{ \theta} )^{2} + mg \frac{l}{2} (1 - \cos \theta) + \frac{1}{2} \chi (l \theta)^{2} = const$
Дифференцирование уравнения по времени мы получаем:
$\frac{1}{2} \frac{ml^{2} }{3} 2 \dot{ \theta} \ddot{ \theta} + \frac{mgl}{2} \sin \theta \dot{ \theta} + \frac{1}{2} \chi l^{2} 2 \theta \dot{ \theta} = 0$
Таким образом, для очень малого $\theta$
$\ddot{ \theta} = - \frac{3g}{2l} \left ( 1 + \frac{ \chi l}{mg} \right ) \theta$
Следовательно, $\omega_{0} = \sqrt{ \frac{3g}{2l} \left ( 1 + \frac{ \chi l}{mg} \right ) }$
Найти частоту малых колебаний тонкого однородного вертикального стержня массы $m$ и длины $l$, который шарнирно укреплен в точке О (рис.). Суммарная жесткость пружин $\chi$. Массы пружин пренебрежимо малы.
Решение:
Рассмотрим стержень в положении, когда он образует угол $\theta$ от вертикали. В этой задаче как силы тяжести, так и силы пружины консервативные силы, таким образом, из сохранения механической энергии колебаний системы:
$\frac{1}{2} \frac{ml^{2} }{3} ( \dot{ \theta} )^{2} + mg \frac{l}{2} (1 - \cos \theta) + \frac{1}{2} \chi (l \theta)^{2} = const$
Дифференцирование уравнения по времени мы получаем:
$\frac{1}{2} \frac{ml^{2} }{3} 2 \dot{ \theta} \ddot{ \theta} + \frac{mgl}{2} \sin \theta \dot{ \theta} + \frac{1}{2} \chi l^{2} 2 \theta \dot{ \theta} = 0$
Таким образом, для очень малого $\theta$
$\ddot{ \theta} = - \frac{3g}{2l} \left ( 1 + \frac{ \chi l}{mg} \right ) \theta$
Следовательно, $\omega_{0} = \sqrt{ \frac{3g}{2l} \left ( 1 + \frac{ \chi l}{mg} \right ) }$
