Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7792
2018-05-31 
В условиях задачи 7791 масса чашки равна $M$. Найти амплитуду колебаний в этом случае.
Решение:
В отличие от предыдущей задачи 7791 кинетическая энергия тела $m$ уменьшается из-за совершенно неупругого столкновения с чашкой. Очевидно, тело $m$ налетает на чашку со скоростью $v_{0} = \sqrt{2gh}$. Если $v$ - общая скорость "тела + чашка", то тз закона сохранения импульса
$mv_{0} = (M + m)v$
или $v = \frac{mv_{0} }{M + m} = \frac{m \sqrt{2gh} }{M + m}$ (1)
В момент, когда тело $m$ попадает в чашку, пружина сжимается из-за веса чашки на величину $Mg / \chi$. Если $l$ - дальнейшее сжатие пружины из-за скорости, приобретенная системой "чашка - тело" , то из сохранения механической энергии силы тяжести и силы пружины
$\frac{1}{2} (M + m) v^{2} + (M + m)gl = \frac{1}{2} \chi \left ( \frac{Mg}{ \chi} + l \right )^{2} - \frac{1}{2} \chi \left ( \frac{Mg}{ \chi} \right )^{2}$
или, $\frac{1}{2} (M + m) \frac{m^{2}2gh }{(M + m)} + (M + m)gl = \frac{1}{2} \chi \left ( \frac{Mg}{ \chi} \right )^{2} + \frac{1}{2} \chi l^{2} + Mgl - \frac{1}{2} \chi \left ( \frac{Mg}{ \chi} \right )^{2}$ (используя 1)
или, $\frac{1}{2} \chi l^{2} - mgl - \frac{m^{2} gh }{M + m} = 0$
таким образом $l = \frac{mg \pm \sqrt{ m^{2}g^{2} + \frac{2 \chi gh m^{2} }{M + m} } }{ \chi}$
Поскольку знак минус неприемлем
$l = \frac{mg}{ \chi} + \frac{1}{ \chi} \sqrt{ m^{2}g^{2} + \frac{2 \chi m^{2} gh }{M + m} }$
Если осциллирующая система "чашка + тело" была бы в состоянии покоя, она соответствовала бы равновесному положению т.е. пружина была сжата $\frac{(M + m)g}{ \chi}$, поэтому амплитуда колебаний
$a = l - \frac{mg}{ \chi} = \frac{mg}{ \chi} \sqrt{ 1 + \frac{2h \chi}{mg} }$
Механическая энергия колебаний в крайнем положении $E = U_{крайнее} = \frac{1}{2} \chi a^{2}$
$E = T_{среднее} = \frac{1}{2} (M + m)a^{2} \omega^{2}$
Таким образом $E = \frac{1}{2} (M + m)a^{2} \left ( \frac{ \chi}{M + m} \right ) = \frac{1}{2} \chi a^{2}$
В условиях задачи 7791 масса чашки равна $M$. Найти амплитуду колебаний в этом случае.
Решение:
В отличие от предыдущей задачи 7791 кинетическая энергия тела $m$ уменьшается из-за совершенно неупругого столкновения с чашкой. Очевидно, тело $m$ налетает на чашку со скоростью $v_{0} = \sqrt{2gh}$. Если $v$ - общая скорость "тела + чашка", то тз закона сохранения импульса
$mv_{0} = (M + m)v$
или $v = \frac{mv_{0} }{M + m} = \frac{m \sqrt{2gh} }{M + m}$ (1)
В момент, когда тело $m$ попадает в чашку, пружина сжимается из-за веса чашки на величину $Mg / \chi$. Если $l$ - дальнейшее сжатие пружины из-за скорости, приобретенная системой "чашка - тело" , то из сохранения механической энергии силы тяжести и силы пружины
$\frac{1}{2} (M + m) v^{2} + (M + m)gl = \frac{1}{2} \chi \left ( \frac{Mg}{ \chi} + l \right )^{2} - \frac{1}{2} \chi \left ( \frac{Mg}{ \chi} \right )^{2}$
или, $\frac{1}{2} (M + m) \frac{m^{2}2gh }{(M + m)} + (M + m)gl = \frac{1}{2} \chi \left ( \frac{Mg}{ \chi} \right )^{2} + \frac{1}{2} \chi l^{2} + Mgl - \frac{1}{2} \chi \left ( \frac{Mg}{ \chi} \right )^{2}$ (используя 1)
или, $\frac{1}{2} \chi l^{2} - mgl - \frac{m^{2} gh }{M + m} = 0$
таким образом $l = \frac{mg \pm \sqrt{ m^{2}g^{2} + \frac{2 \chi gh m^{2} }{M + m} } }{ \chi}$
Поскольку знак минус неприемлем
$l = \frac{mg}{ \chi} + \frac{1}{ \chi} \sqrt{ m^{2}g^{2} + \frac{2 \chi m^{2} gh }{M + m} }$
Если осциллирующая система "чашка + тело" была бы в состоянии покоя, она соответствовала бы равновесному положению т.е. пружина была сжата $\frac{(M + m)g}{ \chi}$, поэтому амплитуда колебаний
$a = l - \frac{mg}{ \chi} = \frac{mg}{ \chi} \sqrt{ 1 + \frac{2h \chi}{mg} }$
Механическая энергия колебаний в крайнем положении $E = U_{крайнее} = \frac{1}{2} \chi a^{2}$
$E = T_{среднее} = \frac{1}{2} (M + m)a^{2} \omega^{2}$
Таким образом $E = \frac{1}{2} (M + m)a^{2} \left ( \frac{ \chi}{M + m} \right ) = \frac{1}{2} \chi a^{2}$
