Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7791
2018-05-31 
Тело массы $m$ упало с высоты $h$ на чашку пружинных весов (рис.). Массы чашки и пружины пренебрежимо малы, жесткость последней $\chi$. Прилипнув к чашке, тело начинает совершать гармонические колебания в вертикальном направлении. Найти амплитуду колебаний и их энергию.
Решение:
Поскольку масса чашки пренебрежима мала, нет никакой потери кинетической энергии, даже если столкновение неупругое. Из закона сохранения энергии, т.е. $\Delta E = 0$.
Во время движения тела $m$ от начального к конечному положению (положение максимального сжатия пружина) $\Delta T = 0$, и, следовательно, $\Delta U = \Delta U_{тело} + \Delta U_{пружины} = 0$
или $-mg (h + x) + \frac{1}{2} \chi x^{2} = 0$
Решая квадратное уравнение:
$x = \frac{mg}{ \chi} \pm \sqrt{ \frac{m^{2}g^{2} }{ \chi^{2} } + \frac{2mgh}{ \chi} } $
Поскольку знак минус неприемлем
$x = \frac{mg}{ \chi} + \sqrt{ \frac{m^{2}g^{2} }{ \chi^{2} } + \frac{2mgh}{ \chi} }$
Если бы тело $m$ покоилось на чашке в этом положении результирующая сила действующая на тело $m$ равнялась бы нулю. Поэтому равновесное сжатие $\Delta x$ (скажем), обусловленное телом $m$, определяется формулой
$\chi \Delta x = mg$ или $\Delta x = mg / \chi$
Поэтому разница между положением равновесия и одним из крайних положений, то есть искомой амплитудой
$a = x - \Delta x = \sqrt{ \frac{m^{2}g^{2} }{ \chi^{2} } + \frac{2mgh}{ \chi} }$
В крайнем положении механическая энергия колебаний, равна $E = U_{крайнее}$, потому что в крайнем положении кинетическая энергия становится равной нулю.
Хотя вес тела $m$ является консервативной силой, он не восстанавливается в этой задаче, поэтому $U_{крайнее}$ можно найти только из силы пружины. Следовательно
$E = U_{крайнее} = \frac{1}{2} \chi a^{2} = mgh + \frac{m^{2}g^{2} }{2 \chi}$
Тело массы $m$ упало с высоты $h$ на чашку пружинных весов (рис.). Массы чашки и пружины пренебрежимо малы, жесткость последней $\chi$. Прилипнув к чашке, тело начинает совершать гармонические колебания в вертикальном направлении. Найти амплитуду колебаний и их энергию.
Решение:
Поскольку масса чашки пренебрежима мала, нет никакой потери кинетической энергии, даже если столкновение неупругое. Из закона сохранения энергии, т.е. $\Delta E = 0$.
Во время движения тела $m$ от начального к конечному положению (положение максимального сжатия пружина) $\Delta T = 0$, и, следовательно, $\Delta U = \Delta U_{тело} + \Delta U_{пружины} = 0$
или $-mg (h + x) + \frac{1}{2} \chi x^{2} = 0$
Решая квадратное уравнение:
$x = \frac{mg}{ \chi} \pm \sqrt{ \frac{m^{2}g^{2} }{ \chi^{2} } + \frac{2mgh}{ \chi} } $
Поскольку знак минус неприемлем
$x = \frac{mg}{ \chi} + \sqrt{ \frac{m^{2}g^{2} }{ \chi^{2} } + \frac{2mgh}{ \chi} }$
Если бы тело $m$ покоилось на чашке в этом положении результирующая сила действующая на тело $m$ равнялась бы нулю. Поэтому равновесное сжатие $\Delta x$ (скажем), обусловленное телом $m$, определяется формулой
$\chi \Delta x = mg$ или $\Delta x = mg / \chi$
Поэтому разница между положением равновесия и одним из крайних положений, то есть искомой амплитудой
$a = x - \Delta x = \sqrt{ \frac{m^{2}g^{2} }{ \chi^{2} } + \frac{2mgh}{ \chi} }$
В крайнем положении механическая энергия колебаний, равна $E = U_{крайнее}$, потому что в крайнем положении кинетическая энергия становится равной нулю.
Хотя вес тела $m$ является консервативной силой, он не восстанавливается в этой задаче, поэтому $U_{крайнее}$ можно найти только из силы пружины. Следовательно
$E = U_{крайнее} = \frac{1}{2} \chi a^{2} = mgh + \frac{m^{2}g^{2} }{2 \chi}$
