2016-09-04
Кирпичи кладут друг на друга так, как показано на рисунке 5. Каждый более высокий кирпич сдвигают на максимальную величину, не нарушающую равновесия. Какое надо взять число кирпичей и на какие величины сдвинуть их друг относительно друга, чтобы верхний кирпич оказался смещённым по отношению к нижнему на длину кирпича $a$?
Решение:
Стопка кирпичей не опрокинется, если центр масс всех кирпичей, лежащих сверху каждого, не окажется правее его края. Для нахождения удовлетворяющих этому условию сдвигов кирпичей на рисунке показаны координаты $x_{i}$ центров масс кирпичей. Верхнему кирпичу соответствует $i = 1$.
Координаты отсчитываются от края верхнего кирпича. Кирпич с номером $i$ сдвинут относительно $(i + 1)$-го на величину $\Delta_{i}$. Координата $x_{ci}$ центра масс стопки кирпичей, лежащих выше $(i + 1)$-го, определяется соотношением
$x_{ci} = \frac{1}{i} \sum_{k=1}^{i} x_{k}$,
поскольку все кирпичи имеют одинаковые массы. Условие равновесия кирпичей для предельных сдвигов можно записать так:
$x_{ci} = x_{i+1} - \frac{a}{2}$, или $x_{i+1} = \frac{a}{2} + \frac{1}{i} \sum_{k=1}^{i}x_{k}$. (1)
Смещение $i$-го кирпича
$\Delta_{i} = \frac{1}{i} \sum_{k=1}^{i} x_{k} - \frac{1}{i-1} \sum_{k=1}^{i-1} x_{k}$. (2)
Преобразуем это выражение, выделив последнее слагаемое в первой сумме и используя (1):
$\Delta_{i} = \frac{1}{i} \left ( \sum_{k=1}^{i-1} x_{k} + x_{i} \right ) - \frac{1}{i-1} \sum_{k=1}^{i-1} x_{k} = \frac{-1}{i-1} \sum_{k=1}^{i-1} x_{k} + \frac{x_{i}}{i} = \frac{1}{i} \left ( x_{i} - \frac{1}{i-1} \sum_{k=1}^{i-1} x_{k} \right ) = \frac{a}{2i}$.
Итак, смещения кирпичей, начиная с верхнего, образуют последовательность:
$\Delta_{i} = \frac{a}{2i} = \frac{a}{2}, \frac{a}{4}, \frac{a}{6}, \cdots$ (3)
Смещение нижнего кирпича с номером п относительно верхнего
$\Delta (n) = \sum_{i=1}^{n} \Delta_{i}$.
В задаче требуется подобрать такое $n$, чтобы $\Delta (n) \geq a/2$. Находя суммы $n = 2, 3, 4$ членов последовательности (3), получаем
$\Delta(2) = 0,75a; \Delta(3) = 0,92a; \Delta(4) = 1,04a > a$.
Таким образом, требованию задачи удовлетворяет стопка из пяти кирпичей, смещения которых друг относительно друга равны
$\frac{a}{2}, \frac{a}{4}, \frac{a}{6}, \frac{a}{8}$.
Если продолжать наращивать число кирпичей таким же образом, то смещение верхнего кирпича относительно нижнего может стать как угодно большим, поскольку сумма
$\sum_{i=1}^{ \infty} \frac{1}{i} = \infty$.
В самом деле, при большом числе слагаемых можно приближённо принять, что
$\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} \approx \int_{1}^{n} \frac{dx}{x} = ln x$,
а логарифм стремится к бесконечности при $n \rightarrow \infty$.