ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Тело массы $m$ висит на пружине, прикрепленной к потолку кабины лифта. Жесткость пружины $\chi$. В момент $t = 0$ кабина начала подниматься с ускорением $w$. Пренебрегая массой пружины, найти закон движения груза $y(t)$ относительно кабины лифта, если $y(0) = 0$ и $\dot{y}(0) = 0$. Рассмотреть два случая:
а) $w = const$;
б) $w = \alpha t$, где $\alpha$ — постоянная.


Решение:


(a) Поскольку лифт представляет собой не инерционную систему отсчета, поэтому тело $m$ будет испытывать инерционную силу $mw$, направленную вниз, помимо реальных сил в системе отсчета лифта. Из второго закона Ньютона в проекционной форме $F_{y} = mw_{y}$ для груза в системе лифта:

$- \chi \left ( \frac{mg}{ \chi} + y \right ) + mg + mw = m \ddot{y}$ (A)

(Поскольку начальное удлинение пружины составляет $mg / \chi$)

так что, $m \ddot{y} = - \chi y + mw = - \chi \left ( y - \frac{mw}{ \chi} \right )$

или, $\frac{d^{2} }{dt^{2} } \left ( y - \frac{mw}{ \chi} \right ) = - \frac{ \chi}{m} \left ( y - \frac{mw}{ \chi} \right )$ (1)

Уравнение (1) показывает, что движение тела $m$ является гармоническим его решение:

$y - \frac{mw}{ \chi} = a \sin \left ( \sqrt{ \frac{ \chi}{m} } t + \alpha \right )$ (2)

Дифференцируя (2) по времени

$\dot{y} = a \sqrt{ \frac{ \chi}{m} } \cos \left ( \sqrt{ \frac{ \chi}{m} } t + \alpha \right )$ (3)

Используя начальное условие $y(0) = 0$ в (2), получим:

$a \sin \alpha = - \frac{mw}{ \chi}$

и используя другое начальное условие $\dot{y} (0) = 0$ в (3)

мы получаем $a \sqrt{ \frac{ \chi}{m} } \cos \alpha = 0$

Таким образом, $\alpha = - \alpha /2$ и $a = \frac{mw}{ \chi}$

Следовательно, используя эти значения в (2), получим

$y = \frac{mw}{ \chi} \left ( 1 - \cos \sqrt{ \frac{ \chi}{m} } t \right )$

(б) Используем (l). Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

$y - \frac{mw}{ \chi} = a \sin \left ( \sqrt{ \frac{ \chi}{m}} t + \delta \right )$

или, $y - \frac{ \alpha t}{ \chi / m} = a \sin \left ( \sqrt{ \frac{ \chi}{m}} t + \delta \right )$

или, $y - \frac{ \alpha t}{ \omega_{0}^{2} } = a \sin \left ( \omega_{0} t + \delta \right )$ ( $\omega_{0} = \sqrt{ \frac{ \chi}{m} }$ ) (4)

Из начального условия, что a $t = 0, y(0) = 0$, так что $0 = a \sin \delta$ или $\delta = 0$

Таким образом, уравнение (4) принимает вид: $y - \frac{ \alpha t}{ \omega_{0}^{2} } = a \sin \omega_{0}t$ (5)

Дифференцируя уравнение (5) получаем: $\dot{y} - \frac{ \alpha}{ \omega_{0}^{2} } = a \omega_{0} \cos \omega t$ (6)

Но из другого начального условия $\dot{y} (0) = 0$ при $t = 0$.

Итак, из уравнения (6) $- \frac{ \alpha}{ \omega_{0}^{2} }$ или a $a = - \alpha / \omega_{0}^{3}$

Подставляя значение $a$ в выражении (5), получим искомое $y(t)$ то есть

$y - \frac{ \alpha t}{ \omega_{0}^{2} } = - \frac{ \alpha}{ \omega_{0}^{3} } \sin \omega_{0}t$ или $y = \frac{ \alpha}{ \omega_{0}^{3} } ( \omega_{0}t - \sin \omega_{0} t)$