ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Частица массы $m$ движется под действием силы $\vec{F} = 0 \alpha m \vec{r}$, где $\alpha$ — положительная постоянная, $\vec{r}$ — радиус-вектор частицы относительно начала координат. Найти траекторию ее движения, если в начальный момент $\vec{r} = r_{0} \vec{i}$ и скорость $\vec{v} = v_{0} \vec{j}$, где $\vec{i}$ и $\vec{j}$ — орты осей х и у.


Решение:


В соответствии с задачей

$\vec{F} = - \alpha m \vec{r}$

Итак, $m ( \ddot{x} \vec{i} + \ddot{y} \vec{j} ) = - \alpha m (x \vec{i} + y \vec{j} )$

Таким образом, $\ddot{x} = - \alpha x$ и $\ddot{y} = - \alpha y$

Следовательно, решение дифференциального уравнения

$\ddot{x} = - \alpha x$ становится $x = a \cos ( \omega_{0}t + \delta)$, где $\omega_{0}^{2} = \alpha$ (1)
Итак, $\dot{x} = - a \omega_{0} \sin ( \omega_{0}t + \alpha)$ (2)

Из начальных условий задачи $v_{x} = 0$ и $x= r_{0}$ при $t = 0$

Итак, из уравнения (2) $\alpha = 0$, а уравнение принимает вид

$x = r_{0} \cos \omega_{0} t$ so, $\cos \omega_{0} t = x / r_{0}$ (3)

Одно из решений другого дифференциального уравнения $\ddot{y} = - \alpha y$:

$y = a^{ \prime} \sin ( \omega_{0} t + \delta^{ \prime} )$, где $\omega_{0}^{2} = \alpha$ (4)

Из начального условия $y = 0$ при $t = 0$, получаем $\delta^{ \prime} = 0$ и уравнение (4) становятся:

$y = a^{ \prime} \sin \omega_{0}t$ (5)

Дифференцируя уравнение по времени, получаем

$\dot{y} =a^{ \prime} \omega_{0} \cos \omega_{0}t$ (6)

Но из начального условия задачи $\dot{y} = v_{0}$ при $t = 0$,
Итак, из (6) $v_{0} = a^{ \prime} \omega_{0}$ или, $a^{ \prime} = v_{0} / \omega_{0}$ (7)

Используя его в (5), получим

$y = \frac{v_{0} }{ \omega_{0} } \sin \omega_{0}t$ или $\sin \omega_{0}t = \frac{ \omega_{0}y }{v_{0} }$ (7)

Используя (3) и (7) получаем:

$\sin^{2} \omega_{0}t + \cos^{2} \omega_{0} t = \frac{ \omega_{0}^{2}y^{2} }{v_{0}^{2} } + \frac{x^{2} }{r_{0}^{2} }$

или, $\left ( \frac{x}{r_{0} } \right )^{2} + \alpha \left ( \frac{y}{v_{0} } \right )^{2} = 1$ (as $\alpha = \omega^{2}$)