ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Доска, на которой лежит тело массы $m$, начинает двигаться вертикально вверх по закону $y = a (1 - \cos \omega t)$, где $y$ — смещение из начального положения, $\omega = 11 рад/с$. Найти:
а) силу давления тела на доску в зависимости от времени, если $a = 4,0 см$; изобразить график этой зависимости;
б) минимальную амплитуду колебания доски, при которой тело начнет отставать от нее;
в) амплитуду колебания доски, при которой тело подскочит на высоту $h = 50 см$ относительно начального положения (в момент $t = 0$).


Решение:


(a) Для тела второй закона Ньютона в проекционной форме $F_{y} = mw_{y}$

$N - mg = m \ddot{y}$ (1)

Но из $y = a (1 - \cos \omega t)$

Получаем $\ddot{y} = \omega^{2} a \cos \omega t$ (2)

Из уравнений (1) и (2)

$N = mg \left ( 1 + \frac{ \omega^{2}a }{g} \cos \omega t \right )$ (3)

Из третьего закона Ньютонов сила, с которой тело $m$ воздействует на доску, направлена ??вертикально вниз и равна $N = mg \left ( 1 + \frac{ \omega^{2}a }{g} \cos \omega t \right )$


(б) Когда тело $m$ отрывается, сила $N = 0$, (поскольку нормальная реакция является контактной силой). Таким образом, из (3)

$mg \left ( 1 + \frac{ \omega^{2}a }{g} \cos \omega t \right ) = 0$ для некоторого $t$.

Следовательно, $a_{min} = g / \omega^{2} \approx 8 см$.

(в) Заметим, что движение имеет место относительно среднего положения $y = a$. Начальное $y = 0$. Как показано в (б), нормальная реакция исчезает на высоте $(g / \omega^{2} )$ выше положения равновесия, и тело движется как свободное тело. Скорость тела на расстоянии $(g / \omega^{2})$ от положения равновесия равно$\omega \sqrt{ a^{2} - (g / \omega^{2})^{2}}$, так что условие задачи дает

$\frac{ ( \omega \sqrt{a^{2} - (g/ \omega^{2} )^{2} } )^{2} }{2g} + \frac{g}{ \omega^{2} } + a = h$

Следовательно, решая полученное квадратичное уравнение и беря положительный ответ,

$a = - \frac{g}{ \omega^{2} } + \sqrt{ \frac{2hg}{ \omega^{2} } } \approx 20 см$.