Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7781
2018-05-31 
Найти период малых колебаний математического маятника длины $l$, если его точка подвеса О движется относительно поверхности Земли в произвольном направлении с постоянным ускорением $\vec{w}$ (рис.). Вычислить этот период, если $l = 21 см, \omega = g/2$ и угол между векторами $\vec{w}$ и $\vec{g} \beta = 120^{ \circ}$.
Решение:
В системе отсчета точки подвеса будет колебаться математический маятник массы $m$. В этой системе отсчета тело $m$ будет испытывать инерционную силу $m (- \vec{w})$ в дополнение к действительным силам во время колебаний. Поэтому в равновесном положении $m$ отклоняется на некоторый угол, скажем $\alpha$. В положении равновесия
$T_{0} \cos \alpha = mg + m w \cos ( \pi - \beta )$ и $T_{0} \sin \alpha = m w \sin ( \pi - \beta)$
Итак, из этих двух уравнений
$tg \alpha = \frac{g - w \cos \beta}{w \sin \beta}$ (1)
$\cos \alpha = \sqrt{ \frac{m^{2}w^{2} \sin^{2} \beta + (mg - mw \cos \beta)^{2} }{mg - mw \cos \beta} }$
Отклоним тело $m$ из положения равновесия на небольшой угол, а затем отпустим его. Шарик окажется в угловом положении $( \alpha + \theta)$, как показано на рисунке.
Из уравнения : $N_{0z} = I \beta_{z}$
$- mgl \sin ( \alpha + \theta) - mw \cos ( \pi - \beta ) l \sin ( \alpha + \theta) + mw \sin ( \pi - \beta ) l \cos ( \alpha + \theta) = ml^{2} \ddot{ \theta }$
или, $- g ( \sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha \sin \theta ) - w \cos ( \pi - \beta ) ( \sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha \sin \theta) + w \sin \beta ( \cos \alpha \cos \theta - \sin \alpha \sin \theta) = l \ddot{ \theta}$
Но при малых $\theta, \sin \theta \approx \theta \cos \theta \approx 1$
Таким образом, $- g ( \sin \alpha + \cos \alpha \theta) - w \cos ( \pi - \beta) ( \sin \alpha + \cos \alpha \theta) + w sin \beta ( \cos \alpha - \sin \alpha \theta ) = l \ddot{ \theta}$
или $(tg \alpha + \theta) (w \cos \beta - g) + w \sin \beta (1 - tg \theta) = \frac{l}{ \cos \alpha} \ddot{ \theta}$ (2)
Решая уравнения (1) и (2) одновременно, получаем
$- (g^{2} - 2 wg \cos \beta + w^{2}) \theta = l \sqrt{g^{2} + w^{2} - 2wg \cos \beta } \ddot{ \theta}$ (2)
Таким образом, $\ddot{ \theta} = - \frac{ | \vec{g} - \vec{w} | }{l} \theta$
Следовательно, искомый период колебаний $T = \frac{2 \pi}{ \omega_{0} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{ | \vec{g} - \vec{w} | } }$
Найти период малых колебаний математического маятника длины $l$, если его точка подвеса О движется относительно поверхности Земли в произвольном направлении с постоянным ускорением $\vec{w}$ (рис.). Вычислить этот период, если $l = 21 см, \omega = g/2$ и угол между векторами $\vec{w}$ и $\vec{g} \beta = 120^{ \circ}$.
Решение:
В системе отсчета точки подвеса будет колебаться математический маятник массы $m$. В этой системе отсчета тело $m$ будет испытывать инерционную силу $m (- \vec{w})$ в дополнение к действительным силам во время колебаний. Поэтому в равновесном положении $m$ отклоняется на некоторый угол, скажем $\alpha$. В положении равновесия
$T_{0} \cos \alpha = mg + m w \cos ( \pi - \beta )$ и $T_{0} \sin \alpha = m w \sin ( \pi - \beta)$
Итак, из этих двух уравнений
$tg \alpha = \frac{g - w \cos \beta}{w \sin \beta}$ (1)
$\cos \alpha = \sqrt{ \frac{m^{2}w^{2} \sin^{2} \beta + (mg - mw \cos \beta)^{2} }{mg - mw \cos \beta} }$
Отклоним тело $m$ из положения равновесия на небольшой угол, а затем отпустим его. Шарик окажется в угловом положении $( \alpha + \theta)$, как показано на рисунке.
Из уравнения : $N_{0z} = I \beta_{z}$
$- mgl \sin ( \alpha + \theta) - mw \cos ( \pi - \beta ) l \sin ( \alpha + \theta) + mw \sin ( \pi - \beta ) l \cos ( \alpha + \theta) = ml^{2} \ddot{ \theta }$
или, $- g ( \sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha \sin \theta ) - w \cos ( \pi - \beta ) ( \sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha \sin \theta) + w \sin \beta ( \cos \alpha \cos \theta - \sin \alpha \sin \theta) = l \ddot{ \theta}$
Но при малых $\theta, \sin \theta \approx \theta \cos \theta \approx 1$
Таким образом, $- g ( \sin \alpha + \cos \alpha \theta) - w \cos ( \pi - \beta) ( \sin \alpha + \cos \alpha \theta) + w sin \beta ( \cos \alpha - \sin \alpha \theta ) = l \ddot{ \theta}$
или $(tg \alpha + \theta) (w \cos \beta - g) + w \sin \beta (1 - tg \theta) = \frac{l}{ \cos \alpha} \ddot{ \theta}$ (2)
Решая уравнения (1) и (2) одновременно, получаем
$- (g^{2} - 2 wg \cos \beta + w^{2}) \theta = l \sqrt{g^{2} + w^{2} - 2wg \cos \beta } \ddot{ \theta}$ (2)
Таким образом, $\ddot{ \theta} = - \frac{ | \vec{g} - \vec{w} | }{l} \theta$
Следовательно, искомый период колебаний $T = \frac{2 \pi}{ \omega_{0} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{ | \vec{g} - \vec{w} | } }$
