Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7780
2018-05-31 
Представим себе шахту, пронизывающую Землю по ее оси вращения. Считая Землю за однородный шар и пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
а) закон движения тела, упавшего в шахту,
б) сколько времени понадобится этому телу, чтобы достигнуть противоположного конца шахты;
в) скорость тела в центре Земли.
Решение:
(а) Единственной силой, действующей на шар, является гравитационная сила $\vec{F}$, величиной $\gamma \frac{4}{3} \pi \rho mr$ где $\gamma$ - гравитационная постоянная $\rho$, плотность Земли и $r$ - расстояние тело из центра Земли.
Но, $g = \gamma \frac{4 \pi}{3} \rho R$, поэтому выражение для $\vec{F}$ можно записать в виде,
$\vec{F} = - mg \frac{ \vec{r} }{R}$, здесь $R$ - радиус Земли и уравнение движения в проекции форма имеет форму, или, $m \ddot{x} + \frac{mg}{R}x = 0$
(б) Полученное выше уравнение имеет вид уравнения гармонических колебаний с периодом,
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{R}{g} }$,
Следовательно, тело достигнет другого конца вала за время,
$t = \frac{T}{2} = \pi \sqrt{ \frac{R}{g} } = 42 мин$.
(в) Из условия гармонических колебаний тела скорость тела в центре Земли будет максимальна, и иметь величину,
$v = R \omega = R \sqrt{ g / R} = \sqrt{gR} = 7,9 км / с$.
Представим себе шахту, пронизывающую Землю по ее оси вращения. Считая Землю за однородный шар и пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
а) закон движения тела, упавшего в шахту,
б) сколько времени понадобится этому телу, чтобы достигнуть противоположного конца шахты;
в) скорость тела в центре Земли.
Решение:
(а) Единственной силой, действующей на шар, является гравитационная сила $\vec{F}$, величиной $\gamma \frac{4}{3} \pi \rho mr$ где $\gamma$ - гравитационная постоянная $\rho$, плотность Земли и $r$ - расстояние тело из центра Земли.
Но, $g = \gamma \frac{4 \pi}{3} \rho R$, поэтому выражение для $\vec{F}$ можно записать в виде,
$\vec{F} = - mg \frac{ \vec{r} }{R}$, здесь $R$ - радиус Земли и уравнение движения в проекции форма имеет форму, или, $m \ddot{x} + \frac{mg}{R}x = 0$
(б) Полученное выше уравнение имеет вид уравнения гармонических колебаний с периодом,
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{R}{g} }$,
Следовательно, тело достигнет другого конца вала за время,
$t = \frac{T}{2} = \pi \sqrt{ \frac{R}{g} } = 42 мин$.
(в) Из условия гармонических колебаний тела скорость тела в центре Земли будет максимальна, и иметь величину,
$v = R \omega = R \sqrt{ g / R} = \sqrt{gR} = 7,9 км / с$.
