Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 778
2016-09-04 
Снег, лежащий на склоне гор, иногда приходит в движение, образуя снежные лавины. Снежные массы неожиданно начинают спускаться сверху, увлекая за собой всё, что находится на склоне горы. Энергия лавины быстро нарастает, превращая её в грозное стихийное бедствие. Для описания движения лавины воспользуемся следующей моделью.
На длинной наклонной плоскости с углом $\alpha$ через одинаковые промежутки $L$ расставлены тяжёлые бруски (рис.). От скольжения по плоскости их удерживают сила сцепления, которая исчезает при сколь угодно малом толчке. После освобождения бруски скользят с ничтожным трением. Если верхний брусок придёт в движение, он столкнётся со вторым бруском, далее цепочка из двух брусков столкнётся с третьим и так далее. Все соударения предполагаются абсолютно неупругими. В результате возникает длинная цепочка, к которой присоединяются всё новые и новые бруски. Этот процесс и моделирует движение лавины по горному склону.
1. Пусть в цепочке движется $n$ брусков. Определите приращение кинетической энергии $\Delta E$ цепочки после столкновения с $(n + 1)$-м бруском по сравнению с энергией после столкновения с $n$-м бруском.
2. Найдите разность энергий цепочек из $n \gg 1$ и $k > n$ брусков $E_{k} - E_{n}$.
3. Как сказывается на движении лавины учёт силы трения? Ответьте на вопросы предыдущих заданий, полагая, что угол наклона плоскости $\alpha$ больше «лавиноопасного» угла $\beta$.
Решение:
Как компактно описать множество последовательных столкновений нарастающей цепочки с очередным бруском? Поскольку все эти процессы аналогичны, рассмотрим один из них: столкновение цепочки уже слипшихся $n$ брусков с очередным $(n + 1)$-м бруском. Обозначим скорость цепочки сразу после соударения с $n$-м бруском $b_{n}$. Найдём скорость цепочки после столкновения с $(n + 1)$-м бруском $v_{n+1}$. Для этого следует применить закон сохранения энергии цепочки при движении её к $(n + 1)$-му бруску и закон сохранения импульса при очередном столкновении. Получим:
$v_{n+1}^{2} = \left ( \frac{n}{n+1} \right )^{2} (v_{n}^{2} + 2gL \sin \alpha)$. (1)
Применяя это рекуррентное соотношение, получим при $v_{1} = 0$:
$v_{2}^{2} = \frac{2gL \sin \alpha}{2^{2}}$,
$v_{3}^{2} = \frac{2gL \sin \alpha}{3^{2}} (1^{2} +2^{2})$,
$v_{4}^{2} = \frac{2gL \sin \alpha}{4^{2}}(1^{2} + 2^{2} + 3^{2})$,
$\cdots$
$v_{n+1}^{2} = \frac{2gL \sin \alpha}{(n+1)^{2}} (1^{2} + 2^{2} + \cdots + n^{2})$. (2)
Как подсчитать входящую в (2) сумму квадратов натуральных чисел? Для конкретных значений $n$ можно воспользоваться компьютером, таблицами или формулой
$\sum_{1}^{n} n^{2} = \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1)$.
Можно при больших $n$ эту сумму приближённо заменить интегралом:
$\sum_{1}^{n} n^{2} \approx \int_{0}^{n} x^{2} dx = \frac{n^{3}}{3}$. (3)
В самом деле, вычисления дают:
С учётом (3) выражение (2) упрощается:
$v_{n+1}^{2} \approx \frac{2}{3} gLn \sin \alpha$. (4)
Энергия «лавины» после $n \gg 1$ столкновений с учётом (4) приблизительно равна
$E_{n} \approx \frac{1}{3} mgLn^{2} \sin \alpha$. (5)
Искомое в пункте 1 приращение энергии
$\Delta E \approx \frac{2}{3} mgLn \sin \alpha$.
Ответ в задании 2 следует из (5):
$E_{k} – E_{n} \approx \frac{1}{3} mgL (k^{2} -n^{2}) \sin \alpha$.
В задании 3 требуется учесть силу трения. Тогда вместо (1) получается
$v_{n+1}^{2} = \left ( \frac{n}{n+1} \right )^{2} (v_{n}^{2} + 2gL \sin \alpha – 2 \mu g L \cos \alpha)$, (6)
где $\mu$ - коэффициент трения. Его можно определить из условия равномерного скольжения по «лавиноопасному» склону:
$mg \sin \beta = \mu mg \cos \beta$.
Из последнего выражения следует, что
$\mu = tg \beta$.
Формула (6) означает, что учёт трения сводится к замене в ответах предыдущих заданий величины $g$ на $g (1 - tg \beta ctg \alpha)$. Отсюда видно, что движение лавины возникает при $\alpha \geq \beta$. Эта оправдывает использованные названия «лавиноопасных» угла и склона.
Таким образом, рассмотренная простая модель позволяет объяснить неожиданное возникновение лавины и быстрый рост её энергии (в формуле (5) $E \sim n^{2}$).
Снег, лежащий на склоне гор, иногда приходит в движение, образуя снежные лавины. Снежные массы неожиданно начинают спускаться сверху, увлекая за собой всё, что находится на склоне горы. Энергия лавины быстро нарастает, превращая её в грозное стихийное бедствие. Для описания движения лавины воспользуемся следующей моделью.
На длинной наклонной плоскости с углом $\alpha$ через одинаковые промежутки $L$ расставлены тяжёлые бруски (рис.). От скольжения по плоскости их удерживают сила сцепления, которая исчезает при сколь угодно малом толчке. После освобождения бруски скользят с ничтожным трением. Если верхний брусок придёт в движение, он столкнётся со вторым бруском, далее цепочка из двух брусков столкнётся с третьим и так далее. Все соударения предполагаются абсолютно неупругими. В результате возникает длинная цепочка, к которой присоединяются всё новые и новые бруски. Этот процесс и моделирует движение лавины по горному склону.
1. Пусть в цепочке движется $n$ брусков. Определите приращение кинетической энергии $\Delta E$ цепочки после столкновения с $(n + 1)$-м бруском по сравнению с энергией после столкновения с $n$-м бруском.
2. Найдите разность энергий цепочек из $n \gg 1$ и $k > n$ брусков $E_{k} - E_{n}$.
3. Как сказывается на движении лавины учёт силы трения? Ответьте на вопросы предыдущих заданий, полагая, что угол наклона плоскости $\alpha$ больше «лавиноопасного» угла $\beta$.
Решение:
Как компактно описать множество последовательных столкновений нарастающей цепочки с очередным бруском? Поскольку все эти процессы аналогичны, рассмотрим один из них: столкновение цепочки уже слипшихся $n$ брусков с очередным $(n + 1)$-м бруском. Обозначим скорость цепочки сразу после соударения с $n$-м бруском $b_{n}$. Найдём скорость цепочки после столкновения с $(n + 1)$-м бруском $v_{n+1}$. Для этого следует применить закон сохранения энергии цепочки при движении её к $(n + 1)$-му бруску и закон сохранения импульса при очередном столкновении. Получим:
$v_{n+1}^{2} = \left ( \frac{n}{n+1} \right )^{2} (v_{n}^{2} + 2gL \sin \alpha)$. (1)
Применяя это рекуррентное соотношение, получим при $v_{1} = 0$:
$v_{2}^{2} = \frac{2gL \sin \alpha}{2^{2}}$,
$v_{3}^{2} = \frac{2gL \sin \alpha}{3^{2}} (1^{2} +2^{2})$,
$v_{4}^{2} = \frac{2gL \sin \alpha}{4^{2}}(1^{2} + 2^{2} + 3^{2})$,
$\cdots$
$v_{n+1}^{2} = \frac{2gL \sin \alpha}{(n+1)^{2}} (1^{2} + 2^{2} + \cdots + n^{2})$. (2)
Как подсчитать входящую в (2) сумму квадратов натуральных чисел? Для конкретных значений $n$ можно воспользоваться компьютером, таблицами или формулой
$\sum_{1}^{n} n^{2} = \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1)$.
Можно при больших $n$ эту сумму приближённо заменить интегралом:
$\sum_{1}^{n} n^{2} \approx \int_{0}^{n} x^{2} dx = \frac{n^{3}}{3}$. (3)
В самом деле, вычисления дают:
С учётом (3) выражение (2) упрощается:
$v_{n+1}^{2} \approx \frac{2}{3} gLn \sin \alpha$. (4)
Энергия «лавины» после $n \gg 1$ столкновений с учётом (4) приблизительно равна
$E_{n} \approx \frac{1}{3} mgLn^{2} \sin \alpha$. (5)
Искомое в пункте 1 приращение энергии
$\Delta E \approx \frac{2}{3} mgLn \sin \alpha$.
Ответ в задании 2 следует из (5):
$E_{k} – E_{n} \approx \frac{1}{3} mgL (k^{2} -n^{2}) \sin \alpha$.
В задании 3 требуется учесть силу трения. Тогда вместо (1) получается
$v_{n+1}^{2} = \left ( \frac{n}{n+1} \right )^{2} (v_{n}^{2} + 2gL \sin \alpha – 2 \mu g L \cos \alpha)$, (6)
где $\mu$ - коэффициент трения. Его можно определить из условия равномерного скольжения по «лавиноопасному» склону:
$mg \sin \beta = \mu mg \cos \beta$.
Из последнего выражения следует, что
$\mu = tg \beta$.
Формула (6) означает, что учёт трения сводится к замене в ответах предыдущих заданий величины $g$ на $g (1 - tg \beta ctg \alpha)$. Отсюда видно, что движение лавины возникает при $\alpha \geq \beta$. Эта оправдывает использованные названия «лавиноопасных» угла и склона.
Таким образом, рассмотренная простая модель позволяет объяснить неожиданное возникновение лавины и быстрый рост её энергии (в формуле (5) $E \sim n^{2}$).
