ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Найти период малых вертикальных колебаний тела массы $m$ в системе (рис.). Жесткости пружинок равны $\chi_{1}$ и $\chi_{2}$, а их массы пренебрежимо малы.



Решение:


Во время вертикального колебаний тело находится на расстоянии х от положения равновесия. В этот момент, если $x_{1}$ и $x_{3}$ являются дополнительными удлинениями верхних и нижних пружин относительно положения равновесия, то неуравновешенная сила на теле будет $\chi_{2} x_{2}$, направленная вверх. Следовательно

$- \chi_{2} x_{2} = m \ddot{x}$ (1)
Мы также значем, что $x= x_{1} + x_{2}$ (2)

Поскольку пружины безмассовые, и изначально сила на пружине также равна нулю, поэтому

$\chi_{1} x_{1} = \chi_{2}x_{2}$ (3)

Решая уравнения (1), (2) и (3) одновременно, получаем

$- \frac{ \chi_{1} \chi_{2} }{ \chi_{1} + \chi_{2} } x = m \ddot{x}$

Таким образом $\ddot{x} = - \frac{( \chi_{1} \chi_{2} / \chi_{1} + \chi_{2} ) }{m}x$

Следовательно, искомый период колебаний $T = 2 \pi \sqrt{ m \frac{ \chi_{1} + \chi_{2} }{ \chi_{1} \chi_{2} } }$