Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7774
2018-05-31 
Имеется недеформированная пружина жесткости $\chi = 13 Н/м$, концы которой закреплены. В точке, отстоящей от одного из концов пружины на $\eta = 1/3$ ее длины, укрепили небольшое тело массы $m = 25 г$. Пренебрегая массой пружины, найти период малых продольных колебаний данного тела. Силы тяжести нет.
Решение:
Сначала вычислим жесткость $\chi_{1}$ и $\chi_{2}$ обеих частей пружины. Если мы примем, что пружина имеет исходную жесткость $\chi$, имеющую длину $l_{0}$, под деформирующими силами $F$ удлинение пружины на величину $x$:
$F = \chi x$ (1)
Поэтому удлинение на единицу длины пружины равно $x / l_{0}$. Теперь рассмотрим одну из частей пружины длины $\eta l_{0}$ при тех же деформирующих силах $F$. Тогда удлинение пружины будет
$\frac{x}{l_{0} } \eta l_{0} = \eta x$
Таким образом, $F = \chi_{1} ( \eta x)$ (2)
Следовательно, из уравнений (1) и (2)
$\chi = \eta \chi_{1}$ или $\chi_{1} = \chi/ \eta$ (3)
Аналогично $\chi_{2} = \frac{ \chi}{1 - \eta}$
Положение тела $m$, когда обе части пружины не деформированы, является его равновесным положением О. Переместим тело $m$ вправо или в сторону положительной оси x на небольшое расстояние x. Опишем силы, действующие на блок, когда он находится на расстоянии $x$ от его положения равновесия (рис.). Из второго закона движения в проекционной форме, знаем $F_{x} = m w_{x}$
$- \chi_{1} x - \chi_{2} x = m \ddot{x}$
или, $- \left ( \frac{ \chi}{ \eta} + \frac{ \chi}{1 - \eta} \right ) x = m \ddot{x}$
Таким образом $\ddot{x} = - \frac{ \chi }{m} \frac{1}{ \eta(m) } x$
Следовательно, искомый период колебаний
$T = 2 \pi \sqrt{ \eta (1 - \eta) m / \chi } = 0,13 с$
Имеется недеформированная пружина жесткости $\chi = 13 Н/м$, концы которой закреплены. В точке, отстоящей от одного из концов пружины на $\eta = 1/3$ ее длины, укрепили небольшое тело массы $m = 25 г$. Пренебрегая массой пружины, найти период малых продольных колебаний данного тела. Силы тяжести нет.
Решение:
Сначала вычислим жесткость $\chi_{1}$ и $\chi_{2}$ обеих частей пружины. Если мы примем, что пружина имеет исходную жесткость $\chi$, имеющую длину $l_{0}$, под деформирующими силами $F$ удлинение пружины на величину $x$:
$F = \chi x$ (1)
Поэтому удлинение на единицу длины пружины равно $x / l_{0}$. Теперь рассмотрим одну из частей пружины длины $\eta l_{0}$ при тех же деформирующих силах $F$. Тогда удлинение пружины будет
$\frac{x}{l_{0} } \eta l_{0} = \eta x$
Таким образом, $F = \chi_{1} ( \eta x)$ (2)
Следовательно, из уравнений (1) и (2)
$\chi = \eta \chi_{1}$ или $\chi_{1} = \chi/ \eta$ (3)
Аналогично $\chi_{2} = \frac{ \chi}{1 - \eta}$
Положение тела $m$, когда обе части пружины не деформированы, является его равновесным положением О. Переместим тело $m$ вправо или в сторону положительной оси x на небольшое расстояние x. Опишем силы, действующие на блок, когда он находится на расстоянии $x$ от его положения равновесия (рис.). Из второго закона движения в проекционной форме, знаем $F_{x} = m w_{x}$
$- \chi_{1} x - \chi_{2} x = m \ddot{x}$
или, $- \left ( \frac{ \chi}{ \eta} + \frac{ \chi}{1 - \eta} \right ) x = m \ddot{x}$
Таким образом $\ddot{x} = - \frac{ \chi }{m} \frac{1}{ \eta(m) } x$
Следовательно, искомый период колебаний
$T = 2 \pi \sqrt{ \eta (1 - \eta) m / \chi } = 0,13 с$
