ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Маятниковые часы установили в кабине лифта, которая начала - подниматься с постоянным ускорением $w$, причем $w < g$. На высоте $h$ ускорение кабины изменило свое направление на противоположное, оставшись по модулю тем же. Через сколько времени после начала движения показания часов окажутся верными?


Решение:


Пусть кабина лифта спускалась в течение времени $t^{ \prime}$, тогда искомое время

$t = \sqrt{ \frac{2h}{w} } + t^{ \prime}$, где, очевидно, $\sqrt{ \frac{2h}{w} }$ - время в течении которого лифт поднимался вверх.
Таким образом, если точка подвеса математического маятника движется с ускорением $\vec{w}$, то период колебаний маятника становится

$ 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{ | \vec{g} - \vec{w} | } } $ (см. задачу 7781)

Период времени маятника, когда он движется вверх с ускорением $w$, равен $2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g + w} }$ и период колебаний, когда лифт движется вниз с тем же по величине ускорением

$2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g - w} }$

Поскольку время движения вверх равно $ \sqrt{ \frac{2h}{w} } $, общее количество колебаний за это время равно

$\frac{ \sqrt{2h /w } }{ 2 \pi \sqrt{l / (g + w) } }$

Таким образом, указанное время $= \frac{ \sqrt{2h /w } }{ 2 \pi \sqrt{l / (g + w) } } 2 \pi \sqrt{l/g} = \sqrt{2h/w } \sqrt{(g + w)/g }$

Аналогично указанное время для временного интервала $t^{ \prime}$

$= \frac{t^{ \prime} }{2 \pi \sqrt{ l / ( g - w) } } 2 \pi \sqrt{l /g} = t^{ \prime} \sqrt{ (g - w)/g }$

В сумме равно общему времени

$\sqrt{2h/w } \sqrt{ (g + w)/g } + t^{ \prime} \sqrt{ (g - w)/g } = \sqrt{2h/w } + t^{ \prime}$

или, $t^{ \prime} = \sqrt{ \frac{2h}{w} } \frac{ \sqrt{g + w } - \sqrt{g} }{ \sqrt{g} - \sqrt{ g - w} }$

Следовательно, искомое время

$t = \sqrt{ \frac{2h}{w} } + t^{ \prime} = \sqrt{ \frac{2h}{w}} \frac{ \sqrt{g + w } - \sqrt{g - w} }{ \sqrt{g} - \sqrt{ g - w} } = \sqrt{ \frac{2h}{w} } \frac{ \sqrt{1 + \beta } - \sqrt{1 - \beta } }{ 1 - \sqrt{1 - \beta } }$, где $\beta = w/g$