Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7771
2018-05-31 
Шарик подвесили на нити длины $l$ к точке О стенки, составляющей небольшой угол $\alpha$ с вертикалью (рис.). Затем нить с шариком отклонили на небольшой угол $\beta ( \beta > \alpha)$ и отпустили. Считая удар шарика о стенку абсолютно упругим, найти период колебаний такого маятника.
Решение:
Очевидно, что при малых $\beta$ шарик выполняет гармонические колебания. Из-за совершенно упругого столкновения скорость шара просто меняется. Поскольку ($| \theta | < \alpha$ слева), то закон движения в дифференциальной форме от можно записать в виде
$\ddot{ \theta} = - \frac{g}{l} \theta = - \omega_{0}^{2} \theta$ (1)
Если предположить, что шар начинает движение из крайнего положения, $\theta = \beta$ при $t = 0$, решение дифференциального уравнения
$\theta = \beta \cos \omega_{0} t = \beta \cos \sqrt{ \frac{g}{l}} t$ (2)
Если $t^{ \prime}$ - время, затраченное шаром, чтобы перейти от крайнего положения $\theta = \beta$ к стенке, то есть $\theta = - \alpha$, следовательно уравнение (2) можно переписать как
$- \alpha = \beta \cos \sqrt{ \frac{g}{l} } t^{ \prime}$
или $t^{ \prime} = \sqrt{ \frac{l}{g} } \cos^{ - 1} \left ( - \frac{ \alpha}{ \beta} \right ) = \sqrt{ \frac{l}{g} } \left ( \pi - \cos^{-1} \frac{ \alpha}{ \beta} \right )$
Таким образом искомое время $T = 2T^{ \prime} = 2 \sqrt{ \frac{l}{g} } \left ( \pi - \cos^{-1} \frac{ \alpha }{ \beta} \right ) = 2 \sqrt{ \frac{l}{g} } \left ( \frac{ \pi}{2} + \sin^{ - 1} \frac{ \alpha}{ \beta} \right )$, (потому что $\sin^{ -1} x + \cos^{-1} x = \pi / 2$)
Шарик подвесили на нити длины $l$ к точке О стенки, составляющей небольшой угол $\alpha$ с вертикалью (рис.). Затем нить с шариком отклонили на небольшой угол $\beta ( \beta > \alpha)$ и отпустили. Считая удар шарика о стенку абсолютно упругим, найти период колебаний такого маятника.
Решение:
Очевидно, что при малых $\beta$ шарик выполняет гармонические колебания. Из-за совершенно упругого столкновения скорость шара просто меняется. Поскольку ($| \theta | < \alpha$ слева), то закон движения в дифференциальной форме от можно записать в виде
$\ddot{ \theta} = - \frac{g}{l} \theta = - \omega_{0}^{2} \theta$ (1)
Если предположить, что шар начинает движение из крайнего положения, $\theta = \beta$ при $t = 0$, решение дифференциального уравнения
$\theta = \beta \cos \omega_{0} t = \beta \cos \sqrt{ \frac{g}{l}} t$ (2)
Если $t^{ \prime}$ - время, затраченное шаром, чтобы перейти от крайнего положения $\theta = \beta$ к стенке, то есть $\theta = - \alpha$, следовательно уравнение (2) можно переписать как
$- \alpha = \beta \cos \sqrt{ \frac{g}{l} } t^{ \prime}$
или $t^{ \prime} = \sqrt{ \frac{l}{g} } \cos^{ - 1} \left ( - \frac{ \alpha}{ \beta} \right ) = \sqrt{ \frac{l}{g} } \left ( \pi - \cos^{-1} \frac{ \alpha}{ \beta} \right )$
Таким образом искомое время $T = 2T^{ \prime} = 2 \sqrt{ \frac{l}{g} } \left ( \pi - \cos^{-1} \frac{ \alpha }{ \beta} \right ) = 2 \sqrt{ \frac{l}{g} } \left ( \frac{ \pi}{2} + \sin^{ - 1} \frac{ \alpha}{ \beta} \right )$, (потому что $\sin^{ -1} x + \cos^{-1} x = \pi / 2$)
