Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 777
2016-09-04 
Лёгкая нерастяжимая нить длиной $2L = 2 м$ удерживается за её концы так, что они находятся на одной высоте рядом друг с другом. На нити висит проволочная скобка в виде перевёрнутой буквы $U$. Масса скобки $m$ равна 1 грамму. Нить выдерживает максимальную растягивающую силу $F = 5 Н$. ($F \gg mg$). Концы нити начинают перемещать в противоположных горизонтальных направлениях с одинаковыми скоростями $v = 1 м/с$. В какой-то момент нить не выдерживает и рвётся. На какую максимальную высоту от своего положения в момент разрыва нити взлетит скобка? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Приведённый рисунок показывает момент времени, когда нить ещё V не порвалась, но вот-вот порвётся.
В этот момент расстояние от груза до линии, вдоль которой перемещаются концы нити, равно $x$. Символом $u$ обозначена скорость груза в этот момент времени. Проекции скорости груза и конца одного из отрезков (любого) нити на сам этот отрезок должны быть одинаковыми, так как нить нерастяжима. Таким образом
$u = v \frac{ \sqrt{L^{2} – x^{2}}}{x} \approx v \frac{L}{x}$. (1)
Из заданного в условии соотношения $F \gg mg$ можно предположить, что угол, который составляют нити в момент разрыва, будет близок к $180^{ \circ}$. Это означает, что скорость груза в этот момент будет примерно равна $u = vL/x$.
Для нахождения $x$ в момент разрыва нити запишем второй закон Ньютона:
$m \frac{du}{dt} = 2F \frac{x}{L} - mg$. (2)
Естественно предположить, что в момент разрыва первое слагаемое в правой части равенства (2) играет определяющую роль, то есть
$2F \frac{x}{L} \gg mg$. (3)
Будем решать задачу в этом приближении. Из (1) найдём:
$\frac{du}{dt} = v \frac{L}{x^{2}}u = \frac{v^{2}L^{2}}{x^{3}}$. (4)
Подставляя (4) и (3) в (2), получим
$x = \left ( \frac{v^{2}L^{3}m}{2F} \right )^{1/4}$. (5)
Подсчитав численное значение $x$ по формуле (5), убеждаемся в справедливости сделанного предположения (3):
$2F \frac{x}{L} = 1 Н \gg 0,01 Н = mg$.
Максимальную высоту подъёма скобки теперь нетрудно определить из закона сохранения энергии, используя (1) и (5):
$H = \frac{u^{2}}{2g} = \frac{v}{2g} \sqrt{ \frac{2FL}{m}} \approx 5 м$.
Лёгкая нерастяжимая нить длиной $2L = 2 м$ удерживается за её концы так, что они находятся на одной высоте рядом друг с другом. На нити висит проволочная скобка в виде перевёрнутой буквы $U$. Масса скобки $m$ равна 1 грамму. Нить выдерживает максимальную растягивающую силу $F = 5 Н$. ($F \gg mg$). Концы нити начинают перемещать в противоположных горизонтальных направлениях с одинаковыми скоростями $v = 1 м/с$. В какой-то момент нить не выдерживает и рвётся. На какую максимальную высоту от своего положения в момент разрыва нити взлетит скобка? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Приведённый рисунок показывает момент времени, когда нить ещё V не порвалась, но вот-вот порвётся.
В этот момент расстояние от груза до линии, вдоль которой перемещаются концы нити, равно $x$. Символом $u$ обозначена скорость груза в этот момент времени. Проекции скорости груза и конца одного из отрезков (любого) нити на сам этот отрезок должны быть одинаковыми, так как нить нерастяжима. Таким образом
$u = v \frac{ \sqrt{L^{2} – x^{2}}}{x} \approx v \frac{L}{x}$. (1)
Из заданного в условии соотношения $F \gg mg$ можно предположить, что угол, который составляют нити в момент разрыва, будет близок к $180^{ \circ}$. Это означает, что скорость груза в этот момент будет примерно равна $u = vL/x$.
Для нахождения $x$ в момент разрыва нити запишем второй закон Ньютона:
$m \frac{du}{dt} = 2F \frac{x}{L} - mg$. (2)
Естественно предположить, что в момент разрыва первое слагаемое в правой части равенства (2) играет определяющую роль, то есть
$2F \frac{x}{L} \gg mg$. (3)
Будем решать задачу в этом приближении. Из (1) найдём:
$\frac{du}{dt} = v \frac{L}{x^{2}}u = \frac{v^{2}L^{2}}{x^{3}}$. (4)
Подставляя (4) и (3) в (2), получим
$x = \left ( \frac{v^{2}L^{3}m}{2F} \right )^{1/4}$. (5)
Подсчитав численное значение $x$ по формуле (5), убеждаемся в справедливости сделанного предположения (3):
$2F \frac{x}{L} = 1 Н \gg 0,01 Н = mg$.
Максимальную высоту подъёма скобки теперь нетрудно определить из закона сохранения энергии, используя (1) и (5):
$H = \frac{u^{2}}{2g} = \frac{v}{2g} \sqrt{ \frac{2FL}{m}} \approx 5 м$.
