Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7768
2018-05-31 
Тот же вопрос, что и в задаче 7767, но потенциальная энергия имеет вид $U(x) = a/x^{2} - b/x$, где $a$ и $b$ — некоторые положительные постоянные.
Решение:
Если $U(x) = \frac{a}{x^{2} } - \frac{b}{x}$
то положение равновесия равно $x = x_{0}$, когда $U^{ \prime} (x_{0}) = 0$
или $- \frac{2a}{x_{0}^{3} } + \frac{b}{x_{0}^{2} } = 0 \Rightarrow x_{0} = \frac{2a}{b}$.
Тогда запишем: $x = x_{0} + y$
Отсюда $U(x) = \frac{a}{x_{0}^{2} } - \frac{b}{x_{0} } + ( x - x_{0} ) U^{ \prime} (x_{0} ) + \frac{1}{2} (x - x_{0} )^{2} U^{ \prime \prime} (x_{0} )$
Но $U^{ \prime \prime}(x_{0} ) = \frac{6a}{x_{0}^{4} } - \frac{2b}{x_{0}^{3} } = (2a/b)^{-3} (3b - 2b) = b^{4}/8a^{3}$
И наконец: $U(x) = U(x_{0} ) + \frac{1}{2} \left ( \frac{b^{4} }{8a^{3} } \right ) y^{3} + \cdots$
Мы пренебрегаем остальными членами для малых колебаний и сравниваем их с потенциальной энергией для гармонического осциллятора:
$\frac{1}{2} m \omega^{2} y^{2} = \frac{1}{2} \left ( \frac{b^{4} }{8a^{3} } \right ) y^{2}$, так как $\omega = \frac{b^{2} }{ \sqrt{8a^{3}m } }$
Таким образом $T = 2 \pi \frac{ \sqrt{8ma^{3} } }{b^{2} }$
Примечание. Положение равновесия, как правило, представляет собой минимум потенциальной энергии. Тогда $U^{ \prime} (x_{0}) = 0, U^{ \prime \prime} (x_{0})> 0$. Положение равновесия в принципе может быть максимальным, но тогда $U^{ \prime \prime} (x_{0}) < 0$, а частота колебаний относительно этого положения равновесия будет мнимым.
Тот же вопрос, что и в задаче 7767, но потенциальная энергия имеет вид $U(x) = a/x^{2} - b/x$, где $a$ и $b$ — некоторые положительные постоянные.
Решение:
Если $U(x) = \frac{a}{x^{2} } - \frac{b}{x}$
то положение равновесия равно $x = x_{0}$, когда $U^{ \prime} (x_{0}) = 0$
или $- \frac{2a}{x_{0}^{3} } + \frac{b}{x_{0}^{2} } = 0 \Rightarrow x_{0} = \frac{2a}{b}$.
Тогда запишем: $x = x_{0} + y$
Отсюда $U(x) = \frac{a}{x_{0}^{2} } - \frac{b}{x_{0} } + ( x - x_{0} ) U^{ \prime} (x_{0} ) + \frac{1}{2} (x - x_{0} )^{2} U^{ \prime \prime} (x_{0} )$
Но $U^{ \prime \prime}(x_{0} ) = \frac{6a}{x_{0}^{4} } - \frac{2b}{x_{0}^{3} } = (2a/b)^{-3} (3b - 2b) = b^{4}/8a^{3}$
И наконец: $U(x) = U(x_{0} ) + \frac{1}{2} \left ( \frac{b^{4} }{8a^{3} } \right ) y^{3} + \cdots$
Мы пренебрегаем остальными членами для малых колебаний и сравниваем их с потенциальной энергией для гармонического осциллятора:
$\frac{1}{2} m \omega^{2} y^{2} = \frac{1}{2} \left ( \frac{b^{4} }{8a^{3} } \right ) y^{2}$, так как $\omega = \frac{b^{2} }{ \sqrt{8a^{3}m } }$
Таким образом $T = 2 \pi \frac{ \sqrt{8ma^{3} } }{b^{2} }$
Примечание. Положение равновесия, как правило, представляет собой минимум потенциальной энергии. Тогда $U^{ \prime} (x_{0}) = 0, U^{ \prime \prime} (x_{0})> 0$. Положение равновесия в принципе может быть максимальным, но тогда $U^{ \prime \prime} (x_{0}) < 0$, а частота колебаний относительно этого положения равновесия будет мнимым.
