ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Точка движется в плоскости ху по закону $x = a \sin \omega t, y = b \cos \omega t$, где $a, b$ и $\omega$ — положительные постоянные. Найти:
а) уравнение траектории точки $y(x)$ и направление ее движения по этой траектории;
б) ускорение точки $\vec{w}$ в зависимости от ее радиус-вектора $\vec{r}$ относительно начала координат.


Решение:


(a) Из уравнения: $x = a \sin \omega t$

$\sin^{2} \omega t = x^{2} / a^{2}$ или $\cos^{2} \omega t = 1 - \frac{x^{2} }{a^{2} }$ (1)

И из уравнения: $y = b \cos \omega t$
$\cos^{2} \omega t = y^{2} / b^{2}$ (2)

Из уравнений (1) и (2) получаем:

$1 - \frac{x^{2} }{a^{2} } = \frac{y^{2} }{b^{2} }$ или $\frac{x^{2} }{a^{2} } + \frac{y^{2} }{b^{2} } = 1$

который является стандартным уравнением эллипса, заметим, что,

при $t = 0, x = 0$ и $y = b$
и при $t = \frac{ \pi}{2 \omega}, x = + a$ и $y = 0$

Таким образом, заметим, что при $t = 0$ точка находится в точке 1 (рис.), А в следующие моменты времени координата у уменьшается и $x$ становится положительным. Следовательно, движение по часовой стрелке.

(б) При $x = a \sin \omega t$ и $y = b \cos \omega t$

Поэтому мы можем записать $\vec{r} = a \sin \omega t \vec{i} + b \cos \omega t \vec{j}$

Таким образом, $\ddot{r} = \vec{w} = - \omega^{2} \vec{r}$