Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 776
2016-09-04 
Два одинаковых груза могут скользить вдоль длинного вертикального стержня, укреплённого на полу. Сила трения грузов о стержень $F$ постоянна и много меньше силы тяжести грузов. Верхний груз со скоростью $v$ ударяет нижний груз, который покоился на высоте $H$ от пола. Удары грузов друг о друга и об пол абсолютно упругие. Через какое время $t_{f}$ движение грузов прекратится?
Решение:
Скользя вдоль стержня, грузы многократно сталкиваются друг с другом и с полом. Из законов сохранения энергии и импульса следует, что при абсолютно упругом столкновении двух тел одинаковых масс происходит обмен импульсами. Поэтому задача эквивалента задаче о движении вдоль стержня одного груза, многократно отскакивающего от пола.
Найдём вначале высоту $H_{1}$ на которую подскочит груз после первого удара о пол, и время $t_{1}$, спустя которое он там окажется. Для этого применим закон изменения энергии:
$\frac{mv^{2}}{2} = mg (H_{1} – H) + F(H + H_{1})$, (1)
где $m$ - масса груза, $g$ - ускорение свободного падения. Отсюда находим
$H_{1} = \frac{mv^{2} + 2H(mg -F)}{2(mg + F)} \approx H + \frac{v^{2}}{2g}$, (2)
если учесть, что $F \ll mg$. Время $t_{d}$ падения груза с высоты $H$ является корнем уравнения
$H = vt_{d} + \frac{a_{d}t_{d}^{2}}{2}$,
где $a_{d} = g - \frac{F}{m} \approx g$ - ускорение падающего груза. Находим
$t_{d} = \frac{-v + \sqrt{v^{2} + 2gH}}{g}$. (3)
Время $t_{u}$ последующего подъёма до высоты $H_{1}$ составляет
$t_{u} = \sqrt{ \frac{2H_{1}}{ g + \frac{F}{m}}} \approx \sqrt{ \frac{2H_{1}}{g}}$. (4)
Так что $t_{1} = t_{u} + t_{d}$. Это по порядку величины составляет $\sqrt{2H_{1}/g}$.
При последующих многократных отскоках от пола высота подъёма $h$ будет становиться всё меньше, пока $h$ не обратится в нуль. Если время $\Delta t$ между двумя подскоками много меньше времени затухания колебаний груза, то $h$ можно приблизительно считать непрерывной функцией времени. За малый промежуток времени $dt = \Delta t$ высота подскоков уменьшается на $dh$. Величину $dh$ можно найти из закона изменения энергии:
$ - mgdh = F \cdot 2h, -dh = \frac{2F}{mg}f$. (5)
Время между двумя ближайшими подскоками
$dt 2 \sqrt{ \frac{2h}{g}}$.(6)
Из (5) и (6) получим
$- \frac{dh}{ \sqrt{h}} = \frac{F}{mg} \sqrt{ \frac{g}{2}} dt$.
Интегрируя это уравнение при начальном условии $t = 0$ и $h = H_{1}$, получим
$h = \left ( \sqrt{H_{1}} - \frac{Ft}{2m \sqrt{2g}} \right )^{2}$,
откуда следует, что при $h = 0$
$t = \tau = \frac{2m \sqrt{2gH_{1}}}{F}$. (7)
Полное время движения груза $t_{f} = \tau + t_{1}$. Сравнивая (7) и (4) приходим к заключению, что
$\frac{t_{1}}{ \tau} \approx \frac{F}{mg} \ll 1$.
Так что искомое полное время движения
$t_{f} = \tau = \frac{2m \sqrt{2gH + v^{2}}}{F}$.
В задаче рассмотрена колебательная система, в которой происходят затухающие колебания. Однако они отличаются от привычных квазигармонических затухающих колебаний: график их вовсе не похож на синусоиду, а затухание происходит за конечный промежуток времени (рис.).
Два одинаковых груза могут скользить вдоль длинного вертикального стержня, укреплённого на полу. Сила трения грузов о стержень $F$ постоянна и много меньше силы тяжести грузов. Верхний груз со скоростью $v$ ударяет нижний груз, который покоился на высоте $H$ от пола. Удары грузов друг о друга и об пол абсолютно упругие. Через какое время $t_{f}$ движение грузов прекратится?
Решение:
Скользя вдоль стержня, грузы многократно сталкиваются друг с другом и с полом. Из законов сохранения энергии и импульса следует, что при абсолютно упругом столкновении двух тел одинаковых масс происходит обмен импульсами. Поэтому задача эквивалента задаче о движении вдоль стержня одного груза, многократно отскакивающего от пола.
Найдём вначале высоту $H_{1}$ на которую подскочит груз после первого удара о пол, и время $t_{1}$, спустя которое он там окажется. Для этого применим закон изменения энергии:
$\frac{mv^{2}}{2} = mg (H_{1} – H) + F(H + H_{1})$, (1)
где $m$ - масса груза, $g$ - ускорение свободного падения. Отсюда находим
$H_{1} = \frac{mv^{2} + 2H(mg -F)}{2(mg + F)} \approx H + \frac{v^{2}}{2g}$, (2)
если учесть, что $F \ll mg$. Время $t_{d}$ падения груза с высоты $H$ является корнем уравнения
$H = vt_{d} + \frac{a_{d}t_{d}^{2}}{2}$,
где $a_{d} = g - \frac{F}{m} \approx g$ - ускорение падающего груза. Находим
$t_{d} = \frac{-v + \sqrt{v^{2} + 2gH}}{g}$. (3)
Время $t_{u}$ последующего подъёма до высоты $H_{1}$ составляет
$t_{u} = \sqrt{ \frac{2H_{1}}{ g + \frac{F}{m}}} \approx \sqrt{ \frac{2H_{1}}{g}}$. (4)
Так что $t_{1} = t_{u} + t_{d}$. Это по порядку величины составляет $\sqrt{2H_{1}/g}$.
При последующих многократных отскоках от пола высота подъёма $h$ будет становиться всё меньше, пока $h$ не обратится в нуль. Если время $\Delta t$ между двумя подскоками много меньше времени затухания колебаний груза, то $h$ можно приблизительно считать непрерывной функцией времени. За малый промежуток времени $dt = \Delta t$ высота подскоков уменьшается на $dh$. Величину $dh$ можно найти из закона изменения энергии:
$ - mgdh = F \cdot 2h, -dh = \frac{2F}{mg}f$. (5)
Время между двумя ближайшими подскоками
$dt 2 \sqrt{ \frac{2h}{g}}$.(6)
Из (5) и (6) получим
$- \frac{dh}{ \sqrt{h}} = \frac{F}{mg} \sqrt{ \frac{g}{2}} dt$.
Интегрируя это уравнение при начальном условии $t = 0$ и $h = H_{1}$, получим
$h = \left ( \sqrt{H_{1}} - \frac{Ft}{2m \sqrt{2g}} \right )^{2}$,
откуда следует, что при $h = 0$
$t = \tau = \frac{2m \sqrt{2gH_{1}}}{F}$. (7)
Полное время движения груза $t_{f} = \tau + t_{1}$. Сравнивая (7) и (4) приходим к заключению, что
$\frac{t_{1}}{ \tau} \approx \frac{F}{mg} \ll 1$.
Так что искомое полное время движения
$t_{f} = \tau = \frac{2m \sqrt{2gH + v^{2}}}{F}$.
В задаче рассмотрена колебательная система, в которой происходят затухающие колебания. Однако они отличаются от привычных квазигармонических затухающих колебаний: график их вовсе не похож на синусоиду, а затухание происходит за конечный промежуток времени (рис.).
