Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7758
2018-05-31 
Частица движется вдоль оси х по закону $x = a \cos \omega t$. Найти путь, который она пройдет за промежуток времени от $t = 0$ до $t$.
Решение:
Из закона движения, $x = a \cos \omega t$, очевидно, что время, затраченное на покрытие расстояния, равного амплитуде ($a$), начиная с крайнего положения, равно $T / 4$.
Тогда можно записать
$t = n \frac{T}{4} + t_{0}$, ( где $t_{0} < \frac{T}{4}$ и $n = 0,1,2, \cdots$ )
По мере того, как частица движется по закону, $x = a \cos \omega t$, поэтому при $n = 1,3,5 \cdots$ или при нечетных значениях $n$, он проходит через среднее положение, а для четных чисел $n$ он попадает в крайнее положение (если $t_{0} = 0$).
Случай (1), когда $n$ - нечетное число:
В этом случае из уравнения
$x = \pm a \sin \omega t$, если $t$ отсчитывается от $nT/4$, а расстояние, в этом интервале времени, становится, $s_{1} = a \sin \omega t_{0} = a \sin \omega \left ( t - n \frac{T}{4} \right ) = a \sin \left ( \omega t - \frac{ \pi n}{2} \right )$
Таким образом, искомое расстояние, покрытое для нечетного $n$, равно
$s = na + s_{1} = na + a \sin \left ( \omega t - \frac{n \pi}{2} \right ) = a \left ( n + \sin \left ( \omega t - \frac{n \pi}{2} \right ) \right )$
Случай (2), когда $n$ четно, В этом случае из уравнения $x = a \cos \omega t$, пройденное расстояние ($s_{2}$) в интервале $t_{0}$ дается формулой
$a - s_{2} = a \cos \omega t_{0} = a \cos \omega \left ( t - n \frac{T}{4} \right ) = a \cos \left ( \omega t - n \frac{ \pi}{2} \right )$
или, $s_{2} = a \left ( 1 - \cos \left ( \omega t - \frac{n \pi}{2} \right ) \right )$
Следовательно, искомое расстояние для четного $n$
$s = na + s_{2} = na + a \left ( 1 - \cos \left ( \omega t - \frac{n \pi}{2} \right ) \right ) = a \left ( n + 1 - \cos \left ( \omega t - \frac{ n \pi}{2} \right ) \right )$
В общем случае
$s = \begin{cases} a \left ( n + 1 - \cos \left ( \omega t - \frac{n \pi}{2} \right ) \right )&, n четно \\ a \left ( n + \sin \left ( \omega t - \frac{n \pi}{2} \right ) \right )&, n нечетно \end{cases}$
Частица движется вдоль оси х по закону $x = a \cos \omega t$. Найти путь, который она пройдет за промежуток времени от $t = 0$ до $t$.
Решение:
Из закона движения, $x = a \cos \omega t$, очевидно, что время, затраченное на покрытие расстояния, равного амплитуде ($a$), начиная с крайнего положения, равно $T / 4$.
Тогда можно записать
$t = n \frac{T}{4} + t_{0}$, ( где $t_{0} < \frac{T}{4}$ и $n = 0,1,2, \cdots$ )
По мере того, как частица движется по закону, $x = a \cos \omega t$, поэтому при $n = 1,3,5 \cdots$ или при нечетных значениях $n$, он проходит через среднее положение, а для четных чисел $n$ он попадает в крайнее положение (если $t_{0} = 0$).
Случай (1), когда $n$ - нечетное число:
В этом случае из уравнения
$x = \pm a \sin \omega t$, если $t$ отсчитывается от $nT/4$, а расстояние, в этом интервале времени, становится, $s_{1} = a \sin \omega t_{0} = a \sin \omega \left ( t - n \frac{T}{4} \right ) = a \sin \left ( \omega t - \frac{ \pi n}{2} \right )$
Таким образом, искомое расстояние, покрытое для нечетного $n$, равно
$s = na + s_{1} = na + a \sin \left ( \omega t - \frac{n \pi}{2} \right ) = a \left ( n + \sin \left ( \omega t - \frac{n \pi}{2} \right ) \right )$
Случай (2), когда $n$ четно, В этом случае из уравнения $x = a \cos \omega t$, пройденное расстояние ($s_{2}$) в интервале $t_{0}$ дается формулой
$a - s_{2} = a \cos \omega t_{0} = a \cos \omega \left ( t - n \frac{T}{4} \right ) = a \cos \left ( \omega t - n \frac{ \pi}{2} \right )$
или, $s_{2} = a \left ( 1 - \cos \left ( \omega t - \frac{n \pi}{2} \right ) \right )$
Следовательно, искомое расстояние для четного $n$
$s = na + s_{2} = na + a \left ( 1 - \cos \left ( \omega t - \frac{n \pi}{2} \right ) \right ) = a \left ( n + 1 - \cos \left ( \omega t - \frac{ n \pi}{2} \right ) \right )$
В общем случае
$s = \begin{cases} a \left ( n + 1 - \cos \left ( \omega t - \frac{n \pi}{2} \right ) \right )&, n четно \\ a \left ( n + \sin \left ( \omega t - \frac{n \pi}{2} \right ) \right )&, n нечетно \end{cases}$
