ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
В момент $t = 0$ точка начинает совершать колебания вдоль оси х по закону $x = a \sin \omega t$. Найти за первые 3/8 периода поеле начала движения:
а) среднее значение проекции ее вектора скорости $\langle v_{x} \rangle$;
б) модуль среднего вектора скорости $| \langle v \rangle |$;
в) среднее значение модуля скорости $\langle v \rangle$.


Решение:


(a) При $x = a \sin \omega t$ получаем $v_{x} = a \omega \cos \omega t$

Таким образом, $\langle v_{x} \rangle = \frac{ \int v_{x}dt}{ \int dt} = \frac{ \int_{0}^{ \frac{3}{8}T } a \omega \cos ( 2 \pi /T) tdt }{ \frac{3}{8}T } = \frac{2 \sqrt{2} a \omega }{3 \pi}$ (используя $T = \frac{2 \pi}{ \omega} $ )

(б) В соответствии с задачей

$\vec{v} = v_{x} \vec{i}$, где , $| \langle \vec{v} \rangle | = | \langle v_{x} \rangle |$

Следовательно, используя часть (a), $| \langle \vec{v} \rangle | = \left | \frac{2 \sqrt{2} a \omega }{3 \pi} \right | = \frac{2 \sqrt{2} a \omega }{3 \pi}$

(в) Мы получили, $v_{x} = a \omega \cos \omega t$

Тогда, $v = | v_{x} | = a \omega \cos \omega t$, при $t \leq T/4$
$= - a \omega \cos \omega t$, для $T/4 \leq t \leq \frac{3}{8}T$

Следовательно, $\langle v \rangle = \frac{ \int v dt}{ \int dt} = \frac{ \int_{0}^{T/4} a \omega \cos \omega t dt + \int_{T/4}^{3T/8} - a \omega \cos \omega t dt }{3/8T}$

Используя $\omega = 2 \pi / T$, при вычислении интеграла получим

$\langle v \rangle = \frac{2(4 - \sqrt{2}) a \omega}{3 \pi}$