ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом $T = 0,60 с$ и амплитудой $a = 10,0 см$. Найти среднюю скорость точки за время, в течение которого она проходит путь $a/2$:
а) из крайнего положения;
б) из положения равновесия.


Решение:


(а) Когда частица двигается из крайнего положения, полезно написать закон движения

$x = a \cos \omega t$ (1)

($x$ - смещение из точка равновесия)

Это $t_{1}$ - время, за которое будет пройдено расстояние $a / 2$, тогда из (1)

$a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2} = a \cos \omega t_{1}$ или $\cos \omega t_{1} = \frac{1}{2} = \cos \frac{ \pi}{3}$ (при $t_{1} < T/4$)

Таким образом $t_{1} = \frac{ \pi}{3 \omega} = \frac{ \pi}{3 (2 \pi / T)} = \frac{T}{6}$

При $x = a \cos \omega t$, так что $v_{x} = - a \omega \sin \omega t$

Таким образом, $v = | v_{x} | = - v_{x} = a \omega \sin \omega t$, для $t \leq t_{1} = T/6$

Следовательно, искомая средняя скорость

$\langle v \rangle = \frac{ \int v dt }{ \int dt} = \frac{ \int_{0}^{T/6} a (2 \pi /T) \sin \omega t dt}{T/6} = \frac{3a}{T} = 0,5 м/с$

(б) В этом случае легче написать закон движения в виде:

$x = a \sin \omega t$ (2)

Если $t_{2}$ - время за которое пройдено расстояние $a / 2$, из (2)

$a/2 = a \sin \frac{2 \pi}{T} t_{2}$ или $\sin \frac{2 \pi }{T} t_{2} = \frac{1}{2} = \sin \frac{ \pi}{6}$ (при $t_{2} < T/ 4$)

Таким образом $\frac{2 \pi}{T} t_{2} = \frac{ \pi}{6}$ или, $t_{2} = \frac{T}{12}$

Дифференцируя уравнение (2) по времени, получаем

$v_{x} = a \omega \cos \omega t = a \frac{2 \pi}{T} \cos \frac{2 \pi}{T} t$

Итак, $v = | v_{x} | = a \frac{2 \pi}{T} \cos \frac{2 \pi}{T} t$, при $t \leq t_{2} = T/12$

Следовательно, искомая средняя скорость

$\langle v \rangle = \frac{ \int vdt}{ \int dt} = \frac{1}{T/12} \int_{0}^{T/12} a \frac{2 \pi}{T} \cos \frac{2 \pi}{T} tdt = \frac{6a}{T} = 1 м / с$