ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Частица совершает гармонические колебания вдоль оси х около положения равновесия $x = 0$. Частота колебаний $\omega = 4,00 рад/с$. В некоторый момент координата частицы $x_{0} = 25,0 см$ и ее скорость $v_{x0} = 100 см/с$. Найти координату $x$ и скорость $v_{x}$ частицы через $t = 2,40 с$ после этого момента.


Решение:


Пусть общее уравнение гармонических колебаний:

$x = a \cos ( \omega t + \alpha)$ (1)
Тогда, $v_{x} = - a \omega \sin ( \omega t + \alpha)$ (2)

Предположим, что при $t = 0, x = x_{0}$ и $v_{x} = v_{x_{0} }$.

Таким образом, из уравнений (1) и (2) при $t = 0, x_{0} = a \cos \alpha$, и $v_{x_{0} } = - a \omega \sin \alpha$

Следовательно $tg \alpha = - \frac{ v_{x_{0} } }{ \omega x_{0} }$ и $a = \sqrt{ x_{0}^{2} + \left ( \frac{v_{x_{0} } }{ \omega } \right )^{2} } = 35,35 см$

Из уравнений (1) и (2) искомые $x$ и $v_{x}$ получаются, если

$t = t = 2,40 с, a = \sqrt{ x_{0}^{2} + (v_{x_{0} } / \omega)^{2}}$ и $\alpha = tg^{-1} \left ( - \frac{ v_{x} }{ \omega x_{0} } \right ) = - \frac{ \pi}{4}$

Подставив все заданные численные значения, получим:

$x = - 29 см$ и $v_{x} = - 81 см/с$