ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Некоторая точка движется вдоль оси х по закону $x = a \sin^{2} ( \omega t - \pi /4)$. Найти:
а) амплитуду и период колебаний; изобразить график $x(t)$;
б) проекцию скорости $v_{x}$ как функцию координаты $x$; изобразить график $v_{x} (x)$.


Решение:


(а) Из закона движения частицы

$x= a \sin^{2} ( \omega t - \pi / 4) = \frac{a}{2} \left [ 1 - \cos \left ( 2 \omega t - \frac{ \pi}{2} \right ) \right ]$

или $x - \frac{a}{2} = - \frac{a}{2} \cos \left ( 2 \omega t - \frac{ \pi}{2} \right ) = - \frac{a}{2} \sin 2 \omega t = \frac{a}{2} \sin ( 2 \omega t + \pi)$

т. е. $x - \frac{x}{2} = \frac{a}{2} \sin (2 \omega t + \pi)$. (1)

Теперь, сравнивая это уравнение с общим уравнением гармонических колебаний: $X = A \sin ( \omega t + \alpha)$

Амплитуда, $A = \frac{a}{2}$ и угловая частота, $\omega_{0} = 2 \omega$.

Таким образом, период одного полного колебания $T = \frac{2 \pi}{ \omega_{0} } = \frac{ \pi}{ \omega}$

(б) Дифференцируя уравнение (1) по времени

$v_{x} = a \omega \cos (2 \omega t + \pi)$ или $v_{x}^{2} = a^{2} \omega^{2} \cos^{2} (2 \omega t + \pi) = a^{2} \omega^{2} ( 1 - \sin^{2} (2 \omega t + \pi))$ (2)

Из уравнения (1) $\left ( 1 - \frac{a}{2} \right )^{2} = \frac{a^{2} }{4} \sin^{2} (2 \omega t + \pi)$

или $4 \frac{x^{2} }{a^{2} } + 1 - \frac{4x}{a} = \sin^{2} ( 2 \omega t + \pi)$ или $1 - \sin^{2} (2 \omega t + \pi) = \frac{4x}{a} \left ( 1 - \frac{x}{a} \right )$ (3)

Из уравнений (2) и (3) $v_{x} = a^{2} \omega^{2} \frac{4x}{a} \left ( 1 - \frac{x}{a} \right ) = 2 \omega^{2} x (a - x)$

График $v_{x}(x)$: