Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 775
2016-09-04 
На столе вертикально стоит невесомый обруч, в верхней точке которого жёстко закреплён небольшой массивный груз массой $m$. Радиус обруча $R$, коэффициент трения о стол равен $\mu$. От очень слабого толчка обруч приходит в движение в своей плоскости. Какую скорость $v_{max}$ приобретёт центр обруча к тому моменту, как обруч перестанет катиться без проскальзывания?
Решение:
Двигаясь из состояния покоя, центр обруча начинает набирать скорость. Пусть в некоторый момент времени она равна $v$. Для нахождения v применим закон изменения энергии:
$mgR (1 - \cos \alpha) = \frac{mv_{m}^{2}}{2}$, (1)
где $\alpha$ - угол, на который к рассматриваемому моменту повернётся обруч, а $v_{m}$ - скорость, которую приобретёт груз. По закону сложения скоростей
$\vec{v_{m}} = \vec{v}_{mo} + \vec{v}$,
где $\vec{v}$ - скорость центра обруча $O$, а $\vec{v}_{mo}$ - скорость груза относительно $O$ (рис.). В отсутствие проскальзывания модуль скорости $v_{mo}$ равен модулю скорости $v$ и равен произведению угловой скорости $\omega$ на радиус обруча:
$v_{mo} = v = \omega R$. (2)
Поэтому из векторного треугольника скоростей (рис.) следует, что
$v_{m}^{2} = 2v^{2} (1 + \cos \alpha)$.
Подставляем (2) и это выражение в формулу (1):
$v= \sqrt{gR} tg \left ( \frac{ \alpha}{2} \right ) $ и $\omega = \sqrt{ \frac{g}{R}} tg \left ( \frac{ \alpha}{2} \right )$. (3)
При каком же угле $\alpha$ возможно проскальзывание? Для ответа на этот вопрос нужно сравнить силу трения $\vec{F}$ с максимальной силой трения покоя равной $\mu N$, где $\vec{N}$ - сила реакции (рис.). Обруч катится без проскальзывания пока $F \leq \mu N$. Применим к обручу с грузом закон изменения импульса в проекциях на оси $x$ и $y$ (рис.):
$ \frac{d(mv(1+ \cos \alpha))}{dt} = F \leq \mu N $, (4)
$\frac{ - mv \sin \alpha}{dt} = -mg + N$. (5)
Выполним дифференцирование в левой части уравнений (4) и (5), используя полученные ранее выражения (2) и (3), а также не забывая, что $\omega = d \alpha/dt$. Получаются простые соотношения:
$mg \cos \alpha tg \left ( \frac{ \alpha}{2} \right ) \leq \mu N$, (6)
$N = mg \cos \alpha$. (7)
Проанализируем их. Возможны две ситуации, при которых обруч перестанет катиться без проскальзывания. Во-первых, может обратиться в нуль сила реакции $N$, то есть обруч оторвётся от поверхности. Это случится, как видно из (7), при $\alpha = \pi/2$. Тогда из (3) получим $v = v_{max} = \sqrt{gR}$. Во-вторых, обруч может начать скользить по поверхности. Тогда $N \neq 0$ и (6) становится равенством
$\mu = tg \left ( \frac{ \alpha}{2} \right ) $,
а (3) даёт $v = v_{max} = \mu \sqrt{gR}$. Коэффициент трения $\mu$ обычно меньше 1. Поэтому реализуется обычно вторая ситуация.
На столе вертикально стоит невесомый обруч, в верхней точке которого жёстко закреплён небольшой массивный груз массой $m$. Радиус обруча $R$, коэффициент трения о стол равен $\mu$. От очень слабого толчка обруч приходит в движение в своей плоскости. Какую скорость $v_{max}$ приобретёт центр обруча к тому моменту, как обруч перестанет катиться без проскальзывания?
Решение:
Двигаясь из состояния покоя, центр обруча начинает набирать скорость. Пусть в некоторый момент времени она равна $v$. Для нахождения v применим закон изменения энергии:
$mgR (1 - \cos \alpha) = \frac{mv_{m}^{2}}{2}$, (1)
где $\alpha$ - угол, на который к рассматриваемому моменту повернётся обруч, а $v_{m}$ - скорость, которую приобретёт груз. По закону сложения скоростей
$\vec{v_{m}} = \vec{v}_{mo} + \vec{v}$,
где $\vec{v}$ - скорость центра обруча $O$, а $\vec{v}_{mo}$ - скорость груза относительно $O$ (рис.). В отсутствие проскальзывания модуль скорости $v_{mo}$ равен модулю скорости $v$ и равен произведению угловой скорости $\omega$ на радиус обруча:
$v_{mo} = v = \omega R$. (2)
Поэтому из векторного треугольника скоростей (рис.) следует, что
$v_{m}^{2} = 2v^{2} (1 + \cos \alpha)$.
Подставляем (2) и это выражение в формулу (1):
$v= \sqrt{gR} tg \left ( \frac{ \alpha}{2} \right ) $ и $\omega = \sqrt{ \frac{g}{R}} tg \left ( \frac{ \alpha}{2} \right )$. (3)
При каком же угле $\alpha$ возможно проскальзывание? Для ответа на этот вопрос нужно сравнить силу трения $\vec{F}$ с максимальной силой трения покоя равной $\mu N$, где $\vec{N}$ - сила реакции (рис.). Обруч катится без проскальзывания пока $F \leq \mu N$. Применим к обручу с грузом закон изменения импульса в проекциях на оси $x$ и $y$ (рис.):
$ \frac{d(mv(1+ \cos \alpha))}{dt} = F \leq \mu N $, (4)
$\frac{ - mv \sin \alpha}{dt} = -mg + N$. (5)
Выполним дифференцирование в левой части уравнений (4) и (5), используя полученные ранее выражения (2) и (3), а также не забывая, что $\omega = d \alpha/dt$. Получаются простые соотношения:
$mg \cos \alpha tg \left ( \frac{ \alpha}{2} \right ) \leq \mu N$, (6)
$N = mg \cos \alpha$. (7)
Проанализируем их. Возможны две ситуации, при которых обруч перестанет катиться без проскальзывания. Во-первых, может обратиться в нуль сила реакции $N$, то есть обруч оторвётся от поверхности. Это случится, как видно из (7), при $\alpha = \pi/2$. Тогда из (3) получим $v = v_{max} = \sqrt{gR}$. Во-вторых, обруч может начать скользить по поверхности. Тогда $N \neq 0$ и (6) становится равенством
$\mu = tg \left ( \frac{ \alpha}{2} \right ) $,
а (3) даёт $v = v_{max} = \mu \sqrt{gR}$. Коэффициент трения $\mu$ обычно меньше 1. Поэтому реализуется обычно вторая ситуация.
