Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 774
2016-09-04 
Маятник Максвелла массой $m$, состоящий из тонкого стержня радиусом $r$, на котором посередине жёстко закреплён маховик радиусом $R$, подвешен к потолку на двух одинаковых нитях. Аккуратно вращая стержень, нить намотали на него так, что маятник поднялся на высоту $h$. Найти силу натяжения нитей в момент прохождения свободно отпущенным маятником нижней точки своего движения. Всю массу маятника считать сосредоточенной в ободе маховика. Заданные величины удовлетворяют условиям $r \ll R \ll h$
Решение:
На рисунке слева изображён маятник Максвелла вблизи нижнего положения, а справа — в самом низу. Из-за малости радиуса стержня $r$ отклонением нити от вертикали, а также опусканием оси маятника при её повороте вокруг самой нижней точки нити $M$ можно пренебречь. Для нахождения силы натяжения каждой нити $T$ применим к маятнику в самом нижнем положении закон изменения импульса:
$m \frac{d \vec{v}}{dt} = \vec{F} + m \vec{g}$, или $m \frac{v^{2}}{r} = 2T - mg$, (1)
где $\vec{F}$ - суммарная сила натяжения нитей.
Скорость $v$ центра масс маятника найдём из закона изменения энергии:
$mgh = \frac{mv^{2}}{2} + \frac{m( \omega R)^{2}}{2}$. (2)
В формуле (2) кинетическая энергия представлена, в соответствии с теоремой Кёнинга, в виде суммы кинетической энергии поступательного движения маятника со скоростью центра масс и кинетической энергии вращательного движения относительно центра масс. Угловая скорость $\omega$ вращения маятника может быть найдена как угловая скорость поворота оси $O$ относительно точки $M$ касания нити (рис.): $\omega = v/r$. Подставляя это значение в (2), получим:
$mgh = \frac{mv^{2}}{2} \left ( 1 + \frac{R^{2}}{r^{2}} \right ) $. (3)
Из (2) и (3) следует:
$T = \frac{mg}{2} \left ( 1 + \frac{2h}{r \left (1 + \frac{R^{2}}{r^{2}} \right ) } \right ) \approx \frac{mg}{2} \left ( 1 + \frac{2hr}{R^{2}} \right )$.
Раскрутившись при опускании вниз, маховик по инерции будет продолжать вращение, закручивая нить на стержень и поднимаясь вследствие этого вверх. Такие периодические перемещения вращающегося маятника вверх и вниз могут продолжаться достаточно долго, оправдывая название устройства «маятник Максвелла».
Маятник Максвелла массой $m$, состоящий из тонкого стержня радиусом $r$, на котором посередине жёстко закреплён маховик радиусом $R$, подвешен к потолку на двух одинаковых нитях. Аккуратно вращая стержень, нить намотали на него так, что маятник поднялся на высоту $h$. Найти силу натяжения нитей в момент прохождения свободно отпущенным маятником нижней точки своего движения. Всю массу маятника считать сосредоточенной в ободе маховика. Заданные величины удовлетворяют условиям $r \ll R \ll h$
Решение:
На рисунке слева изображён маятник Максвелла вблизи нижнего положения, а справа — в самом низу. Из-за малости радиуса стержня $r$ отклонением нити от вертикали, а также опусканием оси маятника при её повороте вокруг самой нижней точки нити $M$ можно пренебречь. Для нахождения силы натяжения каждой нити $T$ применим к маятнику в самом нижнем положении закон изменения импульса:
$m \frac{d \vec{v}}{dt} = \vec{F} + m \vec{g}$, или $m \frac{v^{2}}{r} = 2T - mg$, (1)
где $\vec{F}$ - суммарная сила натяжения нитей.
Скорость $v$ центра масс маятника найдём из закона изменения энергии:
$mgh = \frac{mv^{2}}{2} + \frac{m( \omega R)^{2}}{2}$. (2)
В формуле (2) кинетическая энергия представлена, в соответствии с теоремой Кёнинга, в виде суммы кинетической энергии поступательного движения маятника со скоростью центра масс и кинетической энергии вращательного движения относительно центра масс. Угловая скорость $\omega$ вращения маятника может быть найдена как угловая скорость поворота оси $O$ относительно точки $M$ касания нити (рис.): $\omega = v/r$. Подставляя это значение в (2), получим:
$mgh = \frac{mv^{2}}{2} \left ( 1 + \frac{R^{2}}{r^{2}} \right ) $. (3)
Из (2) и (3) следует:
$T = \frac{mg}{2} \left ( 1 + \frac{2h}{r \left (1 + \frac{R^{2}}{r^{2}} \right ) } \right ) \approx \frac{mg}{2} \left ( 1 + \frac{2hr}{R^{2}} \right )$.
Раскрутившись при опускании вниз, маховик по инерции будет продолжать вращение, закручивая нить на стержень и поднимаясь вследствие этого вверх. Такие периодические перемещения вращающегося маятника вверх и вниз могут продолжаться достаточно долго, оправдывая название устройства «маятник Максвелла».
