Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7738
2018-05-17 
Маятник, состоящий из лёгкой нерастяжимой нити и шарика массой $m = 0,1 кг$ с зарядом $Q = 10^{-9} Кл$, находился в состоянии равновесия. После того, как включили однородное горизонтальное электрическое поле неизвестной величины, шарик пришёл в движение. В момент его наибольшего отклонения вправо полярность поля изменили на противоположную. При наибольшем 8 отклонении маятника влево полярность изменили ещё раз, и далее процедуру изменения полярности поля повторяли при всяком наибольшем отклонении маятника. Амплитуда его колебаний всякий раз возрастала. После включения поля и 9 его переключений, маятник стал колебаться так, что максимальный угол его отклонения от вертикали стал равным $30^{ \circ}$. Определите величину напряжённости электрического поля. Ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
В процессе движения на шарик действуют: сила тяжести $mg$, направленная вниз, сила со стороны электрического поля QЕ, направленная горизонтально, и сила натяжения нити, направленная вдоль нити. Равновесное положение маятника при включенном электрическом поле соответствует углу отклонения $\alpha$ от вертикали, который можно найти из уравнения равновесия в проекции на ось, перпендикулярную нити:
$mg \sin \alpha = QE \cos \alpha$,
или
$tg \alpha = \frac{QE}{mg}$. (1)
При изменении полярности электрического поля угол $\alpha$ также меняет знак. После включения поля начальное положение маятника соответствует нулевому углу отклонения от вертикали, положение равновесия — углу $\alpha$. Значит, амплитуда колебаний (максимальный угол отклонения от положения равновесия) равна $\alpha$, а максимальное отклонение от вертикали
$\alpha_{0} = 2 \alpha$. (2)
В момент максимального отклонения поле переключают. Пусть после n-го переключения максимальное отклонение равно $\alpha_{n}$. Тогда амплитуда колебаний равна $| \alpha_{n}| - \alpha$ (здесь $\alpha > 0$), а после ($n + 1$)-го переключения поля становится равной $| \alpha_{n} | + \alpha$, так как равновесный угол отклонения меняет знак (см. рис., где показано положение маятника сразу после $(n+1)$-го переключения поля). Значит, максимальный угол отклонения станет равным $\alpha + (|\alpha_{n}| + \alpha) = | \alpha_{n} | + 2 \alpha$. Таким образом,
$| \alpha_{n+1} | = | \alpha_{n} | + 2 \alpha$.
Из этой рекуррентной формулы следует, что после 9-ти переключений поля
$| \alpha_{9}| = | \alpha_{0} | + 9 \cdot 2 \alpha = 20 \alpha$.
По условию, этот угол равен $30^{ \circ} = \pi /6$. Значит,
$\alpha = \frac{1}{20} \frac{ \pi}{6} = \frac{ \pi}{120}$.
Для таких малых углов при подстановке численных значений с заданной в условии точностью можно считать $tg \alpha = \alpha$. Подставив полученное значение $\alpha$ в (1) и заменив $tg \alpha$ на $\alpha$, найдём
$E = \frac{mg}{Q} tg \frac{ \pi}{120} \approx \frac{ \pi}{120} \frac{mg}{Q}$,
и после подстановки численных значений получим
ответ: $E = 2,6 \cdot 10^{7} В/м$.
Маятник, состоящий из лёгкой нерастяжимой нити и шарика массой $m = 0,1 кг$ с зарядом $Q = 10^{-9} Кл$, находился в состоянии равновесия. После того, как включили однородное горизонтальное электрическое поле неизвестной величины, шарик пришёл в движение. В момент его наибольшего отклонения вправо полярность поля изменили на противоположную. При наибольшем 8 отклонении маятника влево полярность изменили ещё раз, и далее процедуру изменения полярности поля повторяли при всяком наибольшем отклонении маятника. Амплитуда его колебаний всякий раз возрастала. После включения поля и 9 его переключений, маятник стал колебаться так, что максимальный угол его отклонения от вертикали стал равным $30^{ \circ}$. Определите величину напряжённости электрического поля. Ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
В процессе движения на шарик действуют: сила тяжести $mg$, направленная вниз, сила со стороны электрического поля QЕ, направленная горизонтально, и сила натяжения нити, направленная вдоль нити. Равновесное положение маятника при включенном электрическом поле соответствует углу отклонения $\alpha$ от вертикали, который можно найти из уравнения равновесия в проекции на ось, перпендикулярную нити:
$mg \sin \alpha = QE \cos \alpha$,
или
$tg \alpha = \frac{QE}{mg}$. (1)
При изменении полярности электрического поля угол $\alpha$ также меняет знак. После включения поля начальное положение маятника соответствует нулевому углу отклонения от вертикали, положение равновесия — углу $\alpha$. Значит, амплитуда колебаний (максимальный угол отклонения от положения равновесия) равна $\alpha$, а максимальное отклонение от вертикали
$\alpha_{0} = 2 \alpha$. (2)
В момент максимального отклонения поле переключают. Пусть после n-го переключения максимальное отклонение равно $\alpha_{n}$. Тогда амплитуда колебаний равна $| \alpha_{n}| - \alpha$ (здесь $\alpha > 0$), а после ($n + 1$)-го переключения поля становится равной $| \alpha_{n} | + \alpha$, так как равновесный угол отклонения меняет знак (см. рис., где показано положение маятника сразу после $(n+1)$-го переключения поля). Значит, максимальный угол отклонения станет равным $\alpha + (|\alpha_{n}| + \alpha) = | \alpha_{n} | + 2 \alpha$. Таким образом,
$| \alpha_{n+1} | = | \alpha_{n} | + 2 \alpha$.
Из этой рекуррентной формулы следует, что после 9-ти переключений поля
$| \alpha_{9}| = | \alpha_{0} | + 9 \cdot 2 \alpha = 20 \alpha$.
По условию, этот угол равен $30^{ \circ} = \pi /6$. Значит,
$\alpha = \frac{1}{20} \frac{ \pi}{6} = \frac{ \pi}{120}$.
Для таких малых углов при подстановке численных значений с заданной в условии точностью можно считать $tg \alpha = \alpha$. Подставив полученное значение $\alpha$ в (1) и заменив $tg \alpha$ на $\alpha$, найдём
$E = \frac{mg}{Q} tg \frac{ \pi}{120} \approx \frac{ \pi}{120} \frac{mg}{Q}$,
и после подстановки численных значений получим
ответ: $E = 2,6 \cdot 10^{7} В/м$.
