Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7737
2018-05-17 
Лёгкий шероховатый блок радиуса $R$ подвешен на ремне, прикреплённом к потолку двумя вертикальными пружинами с жёсткостями $k_{1}$ и $k_{2}$ ($k_{1} > k_{2}$). Ось блока тянут вниз со скоростью $v$. С какой угловой скоростью вращается блок вокруг своей оси? Проскальзывания между блоком и ремнём нет, трения в оси блока нет.
Решение:
Поскольку блок лёгкий и вращается с конечной угловой скоростью, можно считать, что суммарный момент сил, действующих на него, равен нулю. Запишем равенство моментов сил относительно оси блока (момент силы, действующей вниз на ось, при этом равен нулю):
$k_{1}x_{1} = k_{2}x_{2}$,
где $x_{1}$ и $x_{2}$ — удлинения первой и второй пружины соответственно. Поскольку это равенство справедливо во все моменты времени движения блока, аналогичному уравнению должны удовлетворять и скорости концов пружин ($v_{1}$ и $v_{2}$, соответственно):
$k_{1}v_{1} = k_{2}v_{2}$.
Так как ремень нерастяжимый, эти скорости совпадают со скоростями соответствующих точек на ободе блока (расположенных на противоположных концах горизонтального диаметра). Эти точки, в свою очередь, участвуют в двух движениях: поступательном со скоростью $v$ вниз и вращательном со скоростью $\omega R$ ($\omega$ — искомая угловая скорость), направленной вверх слева со стороны первой пружины и вниз справа со стороны второй пружины:
$v_{1} = v - \omega R$.
$v_{2} = v + \omega R$.
Подставив эти выражения для $v_{1}$ и $v_{2}$ в предыдущее уравнение, найдём
ответ: $\omega = \frac{k_{1} - k_{2} }{k_{1} + k_{2} } \frac{v}{R}$.
Отметим, что в некоторых предельных случаях из этого выражения следуют заранее очевидные результаты: $\omega = 0$ при $k_{1} = k_{2}$ или при $v = 0; \omega = v/R$ при $k_{1} \gg k_{2}; \omega = - v/R$ при $k_{2} \gg k_{1}$.
Лёгкий шероховатый блок радиуса $R$ подвешен на ремне, прикреплённом к потолку двумя вертикальными пружинами с жёсткостями $k_{1}$ и $k_{2}$ ($k_{1} > k_{2}$). Ось блока тянут вниз со скоростью $v$. С какой угловой скоростью вращается блок вокруг своей оси? Проскальзывания между блоком и ремнём нет, трения в оси блока нет.
Решение:
Поскольку блок лёгкий и вращается с конечной угловой скоростью, можно считать, что суммарный момент сил, действующих на него, равен нулю. Запишем равенство моментов сил относительно оси блока (момент силы, действующей вниз на ось, при этом равен нулю):
$k_{1}x_{1} = k_{2}x_{2}$,
где $x_{1}$ и $x_{2}$ — удлинения первой и второй пружины соответственно. Поскольку это равенство справедливо во все моменты времени движения блока, аналогичному уравнению должны удовлетворять и скорости концов пружин ($v_{1}$ и $v_{2}$, соответственно):
$k_{1}v_{1} = k_{2}v_{2}$.
Так как ремень нерастяжимый, эти скорости совпадают со скоростями соответствующих точек на ободе блока (расположенных на противоположных концах горизонтального диаметра). Эти точки, в свою очередь, участвуют в двух движениях: поступательном со скоростью $v$ вниз и вращательном со скоростью $\omega R$ ($\omega$ — искомая угловая скорость), направленной вверх слева со стороны первой пружины и вниз справа со стороны второй пружины:
$v_{1} = v - \omega R$.
$v_{2} = v + \omega R$.
Подставив эти выражения для $v_{1}$ и $v_{2}$ в предыдущее уравнение, найдём
ответ: $\omega = \frac{k_{1} - k_{2} }{k_{1} + k_{2} } \frac{v}{R}$.
Отметим, что в некоторых предельных случаях из этого выражения следуют заранее очевидные результаты: $\omega = 0$ при $k_{1} = k_{2}$ или при $v = 0; \omega = v/R$ при $k_{1} \gg k_{2}; \omega = - v/R$ при $k_{2} \gg k_{1}$.
