Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7734
2018-05-17 
С высоты $H$ по вертикальной спице начинают отпускать одинаковые бусинки без начальной скорости. Последнюю бусинку отпустили с высоты $H$, когда первая опустилась на половину начальной высоты. Через какое время после отпускания последняя бусинка вернётся в начальную точку? Ускорение свободного падения $g$. Удары бусинок об пол и друг о друга считать упругими, размерами бусинок пренебречь. Трения между бусинками и спицей нет.
Решение:
Как известно, при лобовом упругом столкновении тел одинаковой массы происходит обмен скоростями между ними (это нетрудно показать с помощью соответствующих законов сохранения энергии и импульса).
Поскольку, по условию, размер бусинок пренебрежимо мал, такой обмен скоростями между ними можно формально рассматривать как пролёт одной бусинки «сквозь» другую. Очевидно, что в исходную точку первой вернётся последняя бусинка. Следовательно, при описанном выше подходе, при котором бусинки «как бы» пролетают сквозь друг друга, не сталкиваясь, нужно рассмотреть бусинку, которая первой вернётся в исходную точку. Для не сталкивающихся бусинок таковой будет, очевидно, первая отпущенная. Таким образом, искомое время будет равно времени, в течение которого одиночная бусинка, отпущенная из верхней точки, пролетела бы путь от половины высоты до пола и затем наверх в исходную точку.
Время свободного падения $t(h)$ с нулевой начальной скоростью, как и время подъёма до исходной точки после упругого отражения от пола, связано с высотой $h$ соотношением $h = gt^{2}/2$, или
$t(h) = \sqrt{ \frac{2h}{g} }$.
Время падения с половины высоты
$\tau_{1} = t(H) - t \left ( \frac{H}{2} \right ) = \sqrt{ \frac{2H}{g} } - \sqrt{ \frac{H}{g} }$. (1)
Время подъёма от пола в исходную точку
$\tau_{2} = t(H) = \sqrt{ \frac{2H}{g}}$. (2)
Следовательно, искомое время
$\tau = \tau_{1} + \tau_{2}$.
Подставив сюда (1) и (2), найдём
Ответ: $\tau = \sqrt{ \frac{H}{g} } ( \sqrt{8} - 1 )$
С высоты $H$ по вертикальной спице начинают отпускать одинаковые бусинки без начальной скорости. Последнюю бусинку отпустили с высоты $H$, когда первая опустилась на половину начальной высоты. Через какое время после отпускания последняя бусинка вернётся в начальную точку? Ускорение свободного падения $g$. Удары бусинок об пол и друг о друга считать упругими, размерами бусинок пренебречь. Трения между бусинками и спицей нет.
Решение:
Как известно, при лобовом упругом столкновении тел одинаковой массы происходит обмен скоростями между ними (это нетрудно показать с помощью соответствующих законов сохранения энергии и импульса).
Поскольку, по условию, размер бусинок пренебрежимо мал, такой обмен скоростями между ними можно формально рассматривать как пролёт одной бусинки «сквозь» другую. Очевидно, что в исходную точку первой вернётся последняя бусинка. Следовательно, при описанном выше подходе, при котором бусинки «как бы» пролетают сквозь друг друга, не сталкиваясь, нужно рассмотреть бусинку, которая первой вернётся в исходную точку. Для не сталкивающихся бусинок таковой будет, очевидно, первая отпущенная. Таким образом, искомое время будет равно времени, в течение которого одиночная бусинка, отпущенная из верхней точки, пролетела бы путь от половины высоты до пола и затем наверх в исходную точку.
Время свободного падения $t(h)$ с нулевой начальной скоростью, как и время подъёма до исходной точки после упругого отражения от пола, связано с высотой $h$ соотношением $h = gt^{2}/2$, или
$t(h) = \sqrt{ \frac{2h}{g} }$.
Время падения с половины высоты
$\tau_{1} = t(H) - t \left ( \frac{H}{2} \right ) = \sqrt{ \frac{2H}{g} } - \sqrt{ \frac{H}{g} }$. (1)
Время подъёма от пола в исходную точку
$\tau_{2} = t(H) = \sqrt{ \frac{2H}{g}}$. (2)
Следовательно, искомое время
$\tau = \tau_{1} + \tau_{2}$.
Подставив сюда (1) и (2), найдём
Ответ: $\tau = \sqrt{ \frac{H}{g} } ( \sqrt{8} - 1 )$
