Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7732
2018-05-17 
Две бусинки, заряженные одинаковыми зарядами $q$, нанизаны на две параллельные спицы, расстояние между которыми равно $l$. Бусинки могут без трения перемещаться вдоль спиц. В сторону верхней покоящейся бусинки массы $M$, с большого расстояния запускается нижняя бусинка массы $m$ с начальной скоростью $v$. Найти минимальную скорость $v^{*}$, которую следует сообщить нижней бусинке, чтобы она обогнала верхнюю бусинку, а также конечную скорость верхней бусинки после того, как бусинки вновь разлетятся на большое расстояние. Рассмотреть два случая a) $v > v^{*}$ и б) $v < v^{*}$.
Решение:
Нижняя бусинка обгонит верхнюю, если она достигнет точки их наибольшего сближения, когда расстояние между ними равно $l$ (то есть обе бусинки будут находиться на одной вертикали), и при этом будет иметь скорость большую, чем верхняя. Действительно, в дальнейшем, за счёт силы кулоновского взаимодействия между бусинками, скорость нижней бусинки будет только возрастать, а верхней — только убывать. Минимальной начальной скорости $v^{*}$, при которой это произойдёт, соответствует равенство скоростей бусинок в момент их наибольшего сближения. Запишем закон сохранения энергии и закон сохранения импульса для начального момента времени и момента наибольшего сближения, когда скорость обеих бусинок $u$ будет одинаковой:
$\frac{mv^{*2} }{2} = k \frac{q^{2} }{l} + \frac{(M + m)u^{2} }{2}$, (1)
$mv^{*} = (m + M)u$. (2)
Выразив $u$ из (2) и подставив в (1) найдём:
$v^{*} = \sqrt{ 2k \frac{q^{2} }{l} \frac{(m + M )}{Mm} }$.
Запишем законы сохранения энергии и импульса для момента, когда бусинки вновь удалятся на большое расстояние:
$\frac{mv^{2}}{2} = m \frac{v_{1}^{2} }{2} + M \frac{u_{1}^{2} }{2}$,
$mv = mv_{1} + Mu_{1}$,
где $u_{1}$ скорость верхней бусинки в этом случае, а $v_{1}$ — скорость нижней. Решая эту систему из двух уравнений относительно $u_{1}$, найдём:
$u_{1} \left ( u_{1} - \frac{2mv}{M + m} \right ) = 0$.
У этого уравнения есть 2 решения. Первое: $u_{1} = \frac{2mv}{M + m}$ соответствует $v_{1} = \frac{m - M}{m + M}v < u_{1}$ и нижняя бусинка находится слева от верхней. Таким образом, это решение соответствует случаю, когда нижняя бусинка не догонит верхнюю, то есть случаю б).
Второе решение: $u_{1} = 0$ соответствует $v_{1} = v > u_{1}$ и верхняя бусинка находится слева от нижней. Таким образом, это решение соответствует случаю, когда нижняя бусинка обгонит верхнюю, то еств случаю а).
Ответ: $v^{*} = \sqrt{ 2k \frac{q^{2} }{l} \frac{(m + M )}{Mm} }$, a) $u_{2} = 0$, б) $u_{1} = \frac{2mv}{m + M}$.
Две бусинки, заряженные одинаковыми зарядами $q$, нанизаны на две параллельные спицы, расстояние между которыми равно $l$. Бусинки могут без трения перемещаться вдоль спиц. В сторону верхней покоящейся бусинки массы $M$, с большого расстояния запускается нижняя бусинка массы $m$ с начальной скоростью $v$. Найти минимальную скорость $v^{*}$, которую следует сообщить нижней бусинке, чтобы она обогнала верхнюю бусинку, а также конечную скорость верхней бусинки после того, как бусинки вновь разлетятся на большое расстояние. Рассмотреть два случая a) $v > v^{*}$ и б) $v < v^{*}$.
Решение:
Нижняя бусинка обгонит верхнюю, если она достигнет точки их наибольшего сближения, когда расстояние между ними равно $l$ (то есть обе бусинки будут находиться на одной вертикали), и при этом будет иметь скорость большую, чем верхняя. Действительно, в дальнейшем, за счёт силы кулоновского взаимодействия между бусинками, скорость нижней бусинки будет только возрастать, а верхней — только убывать. Минимальной начальной скорости $v^{*}$, при которой это произойдёт, соответствует равенство скоростей бусинок в момент их наибольшего сближения. Запишем закон сохранения энергии и закон сохранения импульса для начального момента времени и момента наибольшего сближения, когда скорость обеих бусинок $u$ будет одинаковой:
$\frac{mv^{*2} }{2} = k \frac{q^{2} }{l} + \frac{(M + m)u^{2} }{2}$, (1)
$mv^{*} = (m + M)u$. (2)
Выразив $u$ из (2) и подставив в (1) найдём:
$v^{*} = \sqrt{ 2k \frac{q^{2} }{l} \frac{(m + M )}{Mm} }$.
Запишем законы сохранения энергии и импульса для момента, когда бусинки вновь удалятся на большое расстояние:
$\frac{mv^{2}}{2} = m \frac{v_{1}^{2} }{2} + M \frac{u_{1}^{2} }{2}$,
$mv = mv_{1} + Mu_{1}$,
где $u_{1}$ скорость верхней бусинки в этом случае, а $v_{1}$ — скорость нижней. Решая эту систему из двух уравнений относительно $u_{1}$, найдём:
$u_{1} \left ( u_{1} - \frac{2mv}{M + m} \right ) = 0$.
У этого уравнения есть 2 решения. Первое: $u_{1} = \frac{2mv}{M + m}$ соответствует $v_{1} = \frac{m - M}{m + M}v < u_{1}$ и нижняя бусинка находится слева от верхней. Таким образом, это решение соответствует случаю, когда нижняя бусинка не догонит верхнюю, то есть случаю б).
Второе решение: $u_{1} = 0$ соответствует $v_{1} = v > u_{1}$ и верхняя бусинка находится слева от нижней. Таким образом, это решение соответствует случаю, когда нижняя бусинка обгонит верхнюю, то еств случаю а).
Ответ: $v^{*} = \sqrt{ 2k \frac{q^{2} }{l} \frac{(m + M )}{Mm} }$, a) $u_{2} = 0$, б) $u_{1} = \frac{2mv}{m + M}$.
