2016-09-04
На гладкой горизонтальной поверхности стоит брусок в форме прямоугольного параллелепипеда с проточенным в нём сквозным каналом, вход и выход которого находятся на одинаковых расстояниях от основания. В отверстие канала перпендикулярно к торцу бруска влетает шарик массой $m$ со скоростью $v_{0}$ и, пролетев канал, вылетает с другой стороны в том же направлении. Трение отсутствует. С какой скоростью и движется брусок после вылета шарика?
Решение:
Для системы «брусок-шарик» сохраняются и импульс и энергия. На основании этого получаем:
$mv_{0} = mv + Mu$, (1)
$ \frac{mv_{0}^{2}}{2} = \frac{mv^{2}}{2} + \frac{Mu^{2}}{2}$. (2)
Здесь $M$ - масса бруска, $u$ - проекция его скорости на ось, сонаправленную с вектором начальной скорости после вылета шарика, $v$ - проекция на ту же ось скорости, с которой вылетает шарик. Перепишем уравнения (1) и (2) в виде:
$m(v_{0} - v) = Mu$, (3)
$m(v_{0}^{2} - v^{2}) = Mu^{2}$. (4)
Из этой системы можно найти $v$ и $u$. Одно из решений системы очевидно:
$v_{0} – v = 0$ и $u = 0$. (5)
Другое решение можно найти, поделив (4) на (3), что можно сделать если не выполняется (5):
$v_{0} + v =u$,
$v_{0} – v = \frac{M}{m} u$.
Отсюда находим:
$u = \frac{2m}{M+n} v_{0}$ и $v =\frac{m-M}{M+m}v_{0}$.
Однако это решение не удовлетворяет условию задачи, поскольку даёт $v < 0$, если $m < M$, при обратном неравенстве получается и $u > v$, то есть шарик не вылетает из бруска.
Таким образом, ответ задачи выражается соотношением (5). Странный результат, не правда ли? Неужели шарик не оказывает никакого воздействия на брусок? Оказывает. В процессе движения шарика в канале скорость шарика и скорость бруска изменяются как по модулю, так и по направлению в зависимости от формы канала. После взаимодействия их скорости принимают исходные значения.