Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7725
2018-05-17 
Однородная доска устойчиво покоится на двух опорах, расстояние между которыми равно половине длины доски. Сначала определяют минимальную массу маленького груза $m_{1}$, который нужно положить на один край доски, чтобы нарушилось равновесие. Затем груз $m_{1}$ убирают и аналогично определяют минимальную массу маленького груза $m_{2}$, который нужно положить на другой край доски, чтобы нарушилось равновесие. Определите массу доски, считая величины $m_{1}$ и $m_{2}$ известными.
Решение:
Рассмотрим равновесие доски с грузом $m_{1}$, лежащим слева. Доска опирается на две опоры, при этом вес доски с грузом перераспределяется между опорами, то есть сумма сил реакции опор $N_{1}$ и $N_{2}$ в точности уравновешивает силу тяжести, а сумма моментов сил равна нулю. Запишем равенство моментов сил относительно левой опоры:
$m_{1}gl_{1} = Mg \left ( \frac{l}{2} - l_{1} \right ) - N_{2} \frac{l}{2}$,
где $l_{1}$ — расстояние от левого края доски до левой опоры, $M$ — масса доски, $l$ — длина доски, $g$ — ускорение свободного падения. Здесь мы учли, что сила тяжести $Mg$ приложена к центру тяжести доски, который располагается посередине.
Поскольку $N_{2}$ не может быть отрицательной, максимальное значение $m_{1}$, при котором достижимо равновесие (или минимальное, при котором равновесие нарушается), определяется уравнением
$m_{1}l_{1} = M \left ( \frac{l}{2} - l_{1} \right )$. (1)
Аналогичные рассуждения для случая, когда груз массы $m_{2}$ находится на правом краю доски, приводят к выражению:
$m_{2}l_{2} = M \left ( \frac{l}{2} - l_{2} \right )$. (2)
где $l_{2}$ — расстояние от правого края доски до правой опоры. Поскольку $l = l_{1} + l/2 + l_{2}$,
$\frac{l}{2} - l_{1} = l_{2}; \frac{l}{2} - l_{2} = l_{1}$.
Заменив в соответствии с этими равенствами скобки в (1) и (2), и перемножив получившиеся равенства, найдём:
ответ: $M = \sqrt{ m_{1}m_{2}}$.
Однородная доска устойчиво покоится на двух опорах, расстояние между которыми равно половине длины доски. Сначала определяют минимальную массу маленького груза $m_{1}$, который нужно положить на один край доски, чтобы нарушилось равновесие. Затем груз $m_{1}$ убирают и аналогично определяют минимальную массу маленького груза $m_{2}$, который нужно положить на другой край доски, чтобы нарушилось равновесие. Определите массу доски, считая величины $m_{1}$ и $m_{2}$ известными.
Решение:
Рассмотрим равновесие доски с грузом $m_{1}$, лежащим слева. Доска опирается на две опоры, при этом вес доски с грузом перераспределяется между опорами, то есть сумма сил реакции опор $N_{1}$ и $N_{2}$ в точности уравновешивает силу тяжести, а сумма моментов сил равна нулю. Запишем равенство моментов сил относительно левой опоры:
$m_{1}gl_{1} = Mg \left ( \frac{l}{2} - l_{1} \right ) - N_{2} \frac{l}{2}$,
где $l_{1}$ — расстояние от левого края доски до левой опоры, $M$ — масса доски, $l$ — длина доски, $g$ — ускорение свободного падения. Здесь мы учли, что сила тяжести $Mg$ приложена к центру тяжести доски, который располагается посередине.
Поскольку $N_{2}$ не может быть отрицательной, максимальное значение $m_{1}$, при котором достижимо равновесие (или минимальное, при котором равновесие нарушается), определяется уравнением
$m_{1}l_{1} = M \left ( \frac{l}{2} - l_{1} \right )$. (1)
Аналогичные рассуждения для случая, когда груз массы $m_{2}$ находится на правом краю доски, приводят к выражению:
$m_{2}l_{2} = M \left ( \frac{l}{2} - l_{2} \right )$. (2)
где $l_{2}$ — расстояние от правого края доски до правой опоры. Поскольку $l = l_{1} + l/2 + l_{2}$,
$\frac{l}{2} - l_{1} = l_{2}; \frac{l}{2} - l_{2} = l_{1}$.
Заменив в соответствии с этими равенствами скобки в (1) и (2), и перемножив получившиеся равенства, найдём:
ответ: $M = \sqrt{ m_{1}m_{2}}$.
