Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 772
2016-09-04 
Два бруска находятся на гладкой горизонтальной поверхности. Они соединены пружиной, сжатой на величину $\Delta = 2 см$, и связаны нитью (рис.). Массы грузов равны $m_{1} = 100 г$ и $m_{2} = 300 г$. Один груз касается стены. Найти, на какую максимальную величину растянется пружина, если пережечь нить.
Решение:
После пережигания нити груз $m_{2}$ приходит в движение под действием силы упругости, а груз $m_{1}$ находится в покое, поскольку сила упругости компенсируется реакцией стенки. Он начнёт двигаться тогда, когда сила сжатия пружины сменится силой растяжения, то есть при обращении в нуль деформации пружины. При максимальном растяжении пружины скорости брусков сравняются. Для нахождения максимального растяжения $x$ следует применить законы сохранения механической энергии и импульса.
Применим закон сохранения механической энергии ко второму бруску при увеличении его скорости до $v$ в момент времени, когда начинает двигаться первый брусок:
$\frac{k \Delta L^{2}}{2} = \frac{m_{2}v^{2}}{2}$, откуда $v = \sqrt{ \frac{k}{m_{2}}} \Delta L$. (1)
В момент, когда пружина растянута на максимальную величину $x$, скорости грузов одинаковы и равны $u$. Для нахождения и воспользуемся законами сохранения импульса и энергии для обоих брусков:
$m_{2}v = (m_{1} + m_{2})u$, (2)
$\frac{m_{2}v^{2}}{2} = \frac{(m_{1} + m_{2}) u^{2}}{2} + \frac{kx^{2}}{2}$. (3)
Из системы (1), (2) и (3) получаем ответ:
$x = \Delta L \sqrt{ \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} } =1 см$. (4)
Задачу можно решить и иным способом, используя понятие центра масс. Импульс системы тел равен произведению скорости центра масс на массу всей системы. В соответствии с законом изменения импульса импульс системы брусков остаётся постоянным после того, как $m_{1}$ приходит в движение, так как на эту систему внешние силы действуют лишь в вертикальном направлении:
$m_{2}v = (m_{1} + m_{2})v_{c}$. (5)
Здесь $v_{c}$ - скорость центра масс, равная скорости $u$ движения обоих брусков при максимальном растяжении пружины. Используем также уравнения (1) и (3), полученные выше на основании закона сохранения механической энергии. Решая систему уравнений (1), (3) и (5) при $v_{c} = u$, получим прежний результат (4). Использование понятия центра масс часто облегчает решение задач о движении системы, состоящей из нескольких тел.
Два бруска находятся на гладкой горизонтальной поверхности. Они соединены пружиной, сжатой на величину $\Delta = 2 см$, и связаны нитью (рис.). Массы грузов равны $m_{1} = 100 г$ и $m_{2} = 300 г$. Один груз касается стены. Найти, на какую максимальную величину растянется пружина, если пережечь нить.
Решение:
После пережигания нити груз $m_{2}$ приходит в движение под действием силы упругости, а груз $m_{1}$ находится в покое, поскольку сила упругости компенсируется реакцией стенки. Он начнёт двигаться тогда, когда сила сжатия пружины сменится силой растяжения, то есть при обращении в нуль деформации пружины. При максимальном растяжении пружины скорости брусков сравняются. Для нахождения максимального растяжения $x$ следует применить законы сохранения механической энергии и импульса.
Применим закон сохранения механической энергии ко второму бруску при увеличении его скорости до $v$ в момент времени, когда начинает двигаться первый брусок:
$\frac{k \Delta L^{2}}{2} = \frac{m_{2}v^{2}}{2}$, откуда $v = \sqrt{ \frac{k}{m_{2}}} \Delta L$. (1)
В момент, когда пружина растянута на максимальную величину $x$, скорости грузов одинаковы и равны $u$. Для нахождения и воспользуемся законами сохранения импульса и энергии для обоих брусков:
$m_{2}v = (m_{1} + m_{2})u$, (2)
$\frac{m_{2}v^{2}}{2} = \frac{(m_{1} + m_{2}) u^{2}}{2} + \frac{kx^{2}}{2}$. (3)
Из системы (1), (2) и (3) получаем ответ:
$x = \Delta L \sqrt{ \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} } =1 см$. (4)
Задачу можно решить и иным способом, используя понятие центра масс. Импульс системы тел равен произведению скорости центра масс на массу всей системы. В соответствии с законом изменения импульса импульс системы брусков остаётся постоянным после того, как $m_{1}$ приходит в движение, так как на эту систему внешние силы действуют лишь в вертикальном направлении:
$m_{2}v = (m_{1} + m_{2})v_{c}$. (5)
Здесь $v_{c}$ - скорость центра масс, равная скорости $u$ движения обоих брусков при максимальном растяжении пружины. Используем также уравнения (1) и (3), полученные выше на основании закона сохранения механической энергии. Решая систему уравнений (1), (3) и (5) при $v_{c} = u$, получим прежний результат (4). Использование понятия центра масс часто облегчает решение задач о движении системы, состоящей из нескольких тел.
