Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7716
2018-05-17 
В цилиндрический сосуд поперечного сечения $S_{1}$ с цилиндрическим горлышком поперечного сечения $S_{2}$ налили одинаковые объёмы двух несмешивающихся жидкостей с плотностями $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ ($\rho_{1} > \rho_{2}$). Сосуд хорошо взболтали, так что образовалась эмульсия — взвесь капелек одной жидкости в другой, — и поставили на стол. Уровень жидкости находится на высоте $H$ от дна сосуда; горлышко заполнено до высоты $h$. Насколько изменится давление на дно сосуда после того как эмульсия опять расслоится на две компоненты? Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Пусть $\rho$ — плотность эмульсии, $V$ — её объём.
Поскольку объёмы жидкостей одинаковы, справедливо соотношение:
$\rho V = \rho_{1} \frac{V}{2} + \rho_{2} \frac{V}{2} \Rightarrow \rho = \frac{ \rho_{1} + \rho_{2} }{2}$.
Поэтому давление на дно сосуда равно: $P = \rho gH = \frac{ \rho_{1} + \rho_{2} }{2} gH$. (1)
Т. к. $\rho_{1} > \rho_{2}$, то после расслоения жидкость с плотностью $\rho_{1}$ займёт нижнее положение. Обозначим $h_{1}$ высоту слоя жидкости плотности $\rho_{1}$. Поскольку объёмы жидкостей одинаковы ($h_{1} < H - h$):
$h_{1}S_{1} = (H - h - h_{1})S_{1} + hS_{2}$. (2)
Давление на дно есть сумма давлений двух жидкостей:
$P^{ \prime} = \rho_{1}gh_{1} + \rho_{2}g(H - h_{1})$, (3)
Вычтя из уравнения (3) уравнение (1), найдём:
$\Delta P = P^{ \prime} - P = - ( \rho_{1} - \rho_{2})g \left ( \frac{H}{2} - h_{1} \right )$ (4)
Из (2) найдём $\frac{H}{2} - h_{1} = \frac{h}{2} \left ( 1 - \frac{S_{2} }{S_{1} } \right )$ и подставим в (4):
$\Delta P = - \left ( 1 - \frac{S_{2} }{S_{1} } \right ) \frac{ \rho_{1} - \rho_{2} }{2} gh$.
Как видно, если $S_{1} = S_{2}$ или $\rho_{1} = \rho_{2}$, то $\Delta P = 0$, что и следовало ожидать.
Ответ: давление уменьшится на величину $\left (1 - \frac{S_{2} }{S_{1} } \right ) \frac{ \rho_{1} - \rho_{2} }{2} gh$.
В цилиндрический сосуд поперечного сечения $S_{1}$ с цилиндрическим горлышком поперечного сечения $S_{2}$ налили одинаковые объёмы двух несмешивающихся жидкостей с плотностями $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ ($\rho_{1} > \rho_{2}$). Сосуд хорошо взболтали, так что образовалась эмульсия — взвесь капелек одной жидкости в другой, — и поставили на стол. Уровень жидкости находится на высоте $H$ от дна сосуда; горлышко заполнено до высоты $h$. Насколько изменится давление на дно сосуда после того как эмульсия опять расслоится на две компоненты? Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Пусть $\rho$ — плотность эмульсии, $V$ — её объём.
Поскольку объёмы жидкостей одинаковы, справедливо соотношение:
$\rho V = \rho_{1} \frac{V}{2} + \rho_{2} \frac{V}{2} \Rightarrow \rho = \frac{ \rho_{1} + \rho_{2} }{2}$.
Поэтому давление на дно сосуда равно: $P = \rho gH = \frac{ \rho_{1} + \rho_{2} }{2} gH$. (1)
Т. к. $\rho_{1} > \rho_{2}$, то после расслоения жидкость с плотностью $\rho_{1}$ займёт нижнее положение. Обозначим $h_{1}$ высоту слоя жидкости плотности $\rho_{1}$. Поскольку объёмы жидкостей одинаковы ($h_{1} < H - h$):
$h_{1}S_{1} = (H - h - h_{1})S_{1} + hS_{2}$. (2)
Давление на дно есть сумма давлений двух жидкостей:
$P^{ \prime} = \rho_{1}gh_{1} + \rho_{2}g(H - h_{1})$, (3)
Вычтя из уравнения (3) уравнение (1), найдём:
$\Delta P = P^{ \prime} - P = - ( \rho_{1} - \rho_{2})g \left ( \frac{H}{2} - h_{1} \right )$ (4)
Из (2) найдём $\frac{H}{2} - h_{1} = \frac{h}{2} \left ( 1 - \frac{S_{2} }{S_{1} } \right )$ и подставим в (4):
$\Delta P = - \left ( 1 - \frac{S_{2} }{S_{1} } \right ) \frac{ \rho_{1} - \rho_{2} }{2} gh$.
Как видно, если $S_{1} = S_{2}$ или $\rho_{1} = \rho_{2}$, то $\Delta P = 0$, что и следовало ожидать.
Ответ: давление уменьшится на величину $\left (1 - \frac{S_{2} }{S_{1} } \right ) \frac{ \rho_{1} - \rho_{2} }{2} gh$.
