ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Чтобы в циклотроне не возникала расстройка, связанная с изменением периода обращения частицы при возрастании ее энергии, медленно изменяют (модулируют) частоту ускоряющего поля. По какому закону надо изменять эту частоту $\omega(t)$, если индукция магнитного поля равна $B$ и частица приобретает за один оборот энергию $\Delta W$? Заряд частицы $q$, масса $m$.


Решение:


Основным условием является релятивистское уравнение,

$\frac{mv^{2} }{r} = Bqv$, или $mv = \frac{m_{0}v }{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2} } } = Bqr$.

Или, $\omega = \frac{Bq}{m}$,

мы получим, $\omega = \frac{ \omega_{0} }{ \sqrt{1 + \frac{ \omega_{0}^{2} r^{2} }{c^{2} } } }, \omega_{0} = \frac{Bq}{m_{0} }r$

радиус мгновенной орбиты. Время ускорения,

$t = \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{2 \nu_{n} } = \sum_{n = 1}^{N} \frac{ \pi}{ \omega_{n} } = \sum_{n}^{N} \frac{ \pi W_{n} }{qBc^{2} }$.

$N$ - количество пересечений дуант.
Но, $W_{n} = m_{0}c^{2} + \frac{n \Delta W}{2}$, существует два пересечения дуант за оборот.

Итак, $t = \sum \frac{ \pi m_{0}c^{2} }{qBc^{2} } + \sum \frac{ \pi \Delta W_{n} }{2qBc^{2} } = N \frac{ \pi}{ \omega_{0} } + \frac{N(N +1 )}{4} \frac{ \pi \Delta W}{qBc^{2} } \approx N^{2} \frac{ \pi \Delta W}{4qBc^{2} } (N \gg 1)$

Также, $r = r_{N} \frac{ \nu_{N} }{ \omega_{N} } \approx \frac{c }{ \pi} \frac{ \partial t}{ \partial N} \approx \frac{ \Delta W}{2qBc} N$

Следовательно, наконец, $\omega = \frac{ \omega_{0} }{ \sqrt{ 1 + \frac{q^{2}B^{2} }{m_{0}^{2}c^{2} } \frac{ \Delta W^{2}}{ 4 q^{2}B^{2}c^{2} } } N^{2} } = \frac{ \omega_{0} }{ \sqrt{ 1 + \frac{ ( \Delta W)^{} }{4m_{0}^{2}c^{2} } \frac{ 4qBc^{2} }{ \pi \Delta W } t } } = \frac{ \omega_{0} }{ \sqrt{1 + at} }$;
$a = \frac{qB \Delta W}{ \pi m_{0}^{2}c^{2} }$