ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Заряженная частица с удельным зарядом $q/m$ начинает двигаться в области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля. Магнитное поле постоянно и имеет индукцию $B$, электрическое же меняется во времени как $E = E_{m} \cos \omega t$, где $\omega = qB/m$. Найти для нерелятивистского случая закон движения частицы $x(t)$ и $y(t)$, если в момент $t = 0$ она находилась в точке О (см. рис.). Какой примерно вид имеет траектория частицы?


Решение:


Уравнения такие же, как в задаче 7691.

$\frac{dv_{x}}{dt} = \frac{qB}{m}v_{x}, \frac{dv_{y}}{dt} = \frac{qE_{m} }{m} \cos \omega t - \frac{qB}{m}v_{x}$ и $\frac{dv_{z} }{dt}$

с $\omega = \frac{qB}{m}, \mathcal{E} = v_{x} + iv_{y}$, получим,

$\frac{d \mathcal{E} }{dt} = i \frac{E_{m} }{B} \omega \cos \omega t - i \omega \mathcal{E}$

или умножая на $e^{ i \omega t}$,

$\frac{d}{dt} ( \mathcal{E} e^{i \omega t} ) = i \frac{E_{m} }{2B} \omega (e^{2i \omega t} + 1)$

или интегрируя, $\mathcal{E} e^{ i \omega t} = \frac{E_{m} }{4B} e^{2 i \omega t} + \frac{E_{m} }{2B} i \omega t$

или, $\mathcal{E} = \frac{E_{m} }{4B} (e^{ i \omega t} + 2i \omega t e^{ i \omega t} ) + Ce^{ i \omega t}$

так как $\mathcal{E} = 0$ при $t = 0, C = - \frac{E_{m} }{4B}$.

Таким образом, $\mathcal{E} = i \frac{E_{m} }{2B} \sin \omega t + \frac{ E_{m}}{2B} \omega t \cos \omega t$

или, $v_{x} = \frac{E_{m} }{2B} \omega t \sin \omega t$ и $v_{y} = \frac{E_{m} }{2B} \sin \omega t + \frac{E_{m} }{2B} \omega t \cos \omega t$

Интегрируя снова,

$x = \frac{a}{2 \omega^{2} } ( \sin \omega t - \omega t \cos \omega t), y = \frac{a}{2 \omega} t \sin \omega t$.

где $a = \frac{qE_{m} }{m}$, и мы использовали $x = y = 0$, при $t = 0$.

Траектория - это разматывающая спираль.