Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7693
2018-05-14 
Магнетрон — это прибор, состоящий из нити накала радиуса а и коаксиального цилиндрического анода радиуса $b$, которые находятся в однородном магнитном поле, параллельном нити. Между нитью и анодом приложена ускоряющая разность потенциалов $U$. Найти значение индукции магнитного поля, при котором электроны, вылетающие с нулевой начальной скоростью из нити, будут достигать анода.
Решение:
Это отличается от задачи 7692 ($a \leftrightarrow b$), а магнитное поле - вдоль z-направления. Таким образом, $B_{x} = B_{y} = 0, B_{z} = B$
Полагая, как обычно, заряд электрона $- |e|$, запишем уравнение движения
$\frac{d}{dt} mv_{x} = \frac{|e|V_{x} }{ \rho^{2} ln \frac{b}{a} } - |e| B \dot{y}, \frac{d}{dt} mv_{y} = \frac{|e|V_{y} }{ \rho^{2} ln \frac{b}{a} } - |e| B \dot{x}$
а также $\frac{d}{dt} mv_{z} = 0 \Rightarrow z = 0$
Движение ограничивается плоскостью $z = 0$. Исключая $B$ из первых двух уравнений,
$\frac{d}{dt} \left ( \frac{1}{2} mv^{2} \right ) = \frac{|e|V}{ln b/a} \frac{x \dot{x} + y \dot{y} }{ \rho^{2} }$
или, $\frac{1}{2}mv^{2} = |e|V \frac{ln \rho /a}{ln b/a}$
поэтому, как и ожидалось, поскольку магнитные силы не работают,
$v = \sqrt{ \frac{2 |e|V }{m} }$, при $\rho = b$.
С другой стороны, исключая $V$, мы также получаем,
$\frac{d}{dt} m(xv_{y} - yv_{x}) = |e|B (x \dot{x} + y \dot{y} )$
т. е. $(xv_{y} - yv_{x}) = \frac{|e|B}{2m} \rho^{2} + const$
Константу легко оценить, так как $v$ равно нулю при $\rho = a$. Таким образом,
$(xv_{y} - yv_{x}) = \frac{|e|B}{2m} ( \rho^{2} - a^{2} ) >0$
При $\rho = b,, (xv_{y} - yv_{x}) \leq vb$
Таким образом, $vb \geq \frac{|e|B}{2m}(b^{2} - a^{2})$
или, $B \leq \frac{2mb}{b^{2} - a^{2} } \sqrt{ \frac{2|e|V}{m} } \frac{1}{|e|}$
или, $B \leq \frac{2b}{b^{2} - a^{2} } \sqrt{ \frac{2mB}{|e|} }$
Магнетрон — это прибор, состоящий из нити накала радиуса а и коаксиального цилиндрического анода радиуса $b$, которые находятся в однородном магнитном поле, параллельном нити. Между нитью и анодом приложена ускоряющая разность потенциалов $U$. Найти значение индукции магнитного поля, при котором электроны, вылетающие с нулевой начальной скоростью из нити, будут достигать анода.
Решение:
Это отличается от задачи 7692 ($a \leftrightarrow b$), а магнитное поле - вдоль z-направления. Таким образом, $B_{x} = B_{y} = 0, B_{z} = B$
Полагая, как обычно, заряд электрона $- |e|$, запишем уравнение движения
$\frac{d}{dt} mv_{x} = \frac{|e|V_{x} }{ \rho^{2} ln \frac{b}{a} } - |e| B \dot{y}, \frac{d}{dt} mv_{y} = \frac{|e|V_{y} }{ \rho^{2} ln \frac{b}{a} } - |e| B \dot{x}$
а также $\frac{d}{dt} mv_{z} = 0 \Rightarrow z = 0$
Движение ограничивается плоскостью $z = 0$. Исключая $B$ из первых двух уравнений,
$\frac{d}{dt} \left ( \frac{1}{2} mv^{2} \right ) = \frac{|e|V}{ln b/a} \frac{x \dot{x} + y \dot{y} }{ \rho^{2} }$
или, $\frac{1}{2}mv^{2} = |e|V \frac{ln \rho /a}{ln b/a}$
поэтому, как и ожидалось, поскольку магнитные силы не работают,
$v = \sqrt{ \frac{2 |e|V }{m} }$, при $\rho = b$.
С другой стороны, исключая $V$, мы также получаем,
$\frac{d}{dt} m(xv_{y} - yv_{x}) = |e|B (x \dot{x} + y \dot{y} )$
т. е. $(xv_{y} - yv_{x}) = \frac{|e|B}{2m} \rho^{2} + const$
Константу легко оценить, так как $v$ равно нулю при $\rho = a$. Таким образом,
$(xv_{y} - yv_{x}) = \frac{|e|B}{2m} ( \rho^{2} - a^{2} ) >0$
При $\rho = b,, (xv_{y} - yv_{x}) \leq vb$
Таким образом, $vb \geq \frac{|e|B}{2m}(b^{2} - a^{2})$
или, $B \leq \frac{2mb}{b^{2} - a^{2} } \sqrt{ \frac{2|e|V}{m} } \frac{1}{|e|}$
или, $B \leq \frac{2b}{b^{2} - a^{2} } \sqrt{ \frac{2mB}{|e|} }$
