ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Система состоит из длинного цилиндрического анода радиуса $a$ и коаксиального с ним цилиндрического катода радиуса $b (b < a)$. На оси системы имеется нить с током накала $I$, создающим в окружающем пространстве магнитное поле. Найти наименьшую разность потенциалов между катодом и анодом, при которой термоэлектроны, покидающие катод без начальной скорости, начнут достигать анода.


Решение:



Когда ток $I$ течет вдоль оси, магнитное поле $B_{ \phi} = \frac{ \mu_{0}I }{2 \pi \rho}$, где $\rho^{2} = x^{2} + y^{2}$. Что касается компонентов,

$B_{x} = - \frac{ \mu_{0}Iy }{2 \pi \rho^{2} }, B_{y} = \frac{ \mu_{0}Ix }{2 \pi \rho^{2} }$ и $B_{z} = 0$

Предположим, что разность потенциалов $V$ устанавливается между внутренним катодом и внешним анодом, что означает потенциальную функцию вида

$\phi = V \frac{ln \rho / b}{ln a/b}, a < \rho > b$,

можно проверить, решая уравнение Лапласа.
Соответствующее этому электрическое поле,

$E_{x} = - \frac{Vx}{ \rho^{2} ln a/b }, E_{y} = - \frac{Vy}{ \rho^{2} ln a/b }, E_{z} = 0$.

Уравнения движения,

$\frac{d}{dt} mv_{x} = + \frac{|e|Vz}{ \rho^{2} ln a/b } + \frac{|e| \mu_{0}I }{2 \pi \rho^{2} } x \dot{z}$
$\frac{d}{dt} mv_{y} = + \frac{|e|Vy}{ \rho^{2} ln a/b } + \frac{|e| \mu_{0}I }{2 \pi \rho^{2} } y \dot{z}$

и $\frac{d}{dt} mv_{z} = - |e| \frac{ \mu_{0}I }{ 2 \pi \rho^{2} } (x \dot{x} + y \dot{y} ) = - |e| \frac{ \mu_{0}I }{2 \pi } \frac{d}{dt} ln \rho$

($- |e|$) - заряд электрона. Интегрируя последнее уравнение,

$mv_{z} = - |e| \frac{ \mu_{0}I }{2 \pi} ln \rho /a = m \dot{z}$.

так как $v_{z} = 0$, где $\rho = a$. Подставим это $\dot{z}$ в два других уравнения, чтобы получить

$\frac{d}{dt} \left ( \frac{1}{2} mv_{x}^{2} + \frac{1}{2} mv_{y}^{2} \right ) = \left ( \frac{|e|V}{ln a/b} - \frac{|e|^{2} }{m} \left ( \frac{ \mu_{0}I }{2 \pi} \right )^{2} ln \rho /b \right ) \frac{x \dot{x} + y \dot{y} }{ \rho^{2} } = \left ( \frac{|e|V}{ln a/b} - \frac{|e|^{2} }{m} \left ( \frac{ \mu_{0}I }{2 \pi} \right )^{2} ln \rho /b \right ) \frac{1 }{2 \rho^{2} } \frac{d}{dt} \rho^{2} = \left ( \frac{|e|V}{ln a/b} - \frac{|e|^{2} }{m} \left ( \frac{ \mu_{0}I }{2 \pi} \right )^{2} ln \rho /b \right ) \frac{d}{dt} ln \frac{ \rho}{b}$

Интегрируя и используя $v^{2} = 0$, при $\rho = b$, получаем,

$\frac{1}{2} mv^{2} = \left ( \frac{|e|V}{ln a/b} ln \frac{ \rho}{b} - \frac{1}{2m} |e|^{2} \left ( \frac{ \mu_{0}I }{2 \pi} \right )^{2} ln \rho /b \right )$

RHS должен быть положительным, для всех $a > \rho > b$. Условием для этого является,

$V \geq \frac{1}{2} \frac{|e|}{m} \left ( \frac{ \mu_{0}I }{2 \pi} \right )^{2} ln \frac{a}{b}$