ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Частица с удельным зарядом $q/m$ движется в области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с напряженностью $\vec{E}$ и индукцией $\vec{B}$ (рис.). В момент $t = 0$ частица находилась в точке О и имела нулевую скорость. Найти для нерелятивистского случая:
а) закон движения частицы $x(t)$ и $y(t)$; какой вид имеет траектория;
б) длину участка траектории между двумя ближайшими точками, в которых скорость частицы обращается в нуль;
в) среднее значение проекции вектора скорости частицы на ось $x$ (дрейфовая скорость).



Решение:


(а) Уравнение движения,

$m \frac{d^{2} \vec{r} }{dt^{2} } = q ( \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} )$

Тогда $\vec{v} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \dot{x} & \dot{y} & \dot{z} \\ 0 & 0 & B \end{vmatrix} = \vec{i} B \dot{y} - \vec{j}B \dot{x}$

Итак, уравнение принимает вид,

$\frac{dv_{x} }{dt} = \frac{qBv_{y} }{m}, \frac{dv_{y} }{dt} = \frac{qE }{m} - \frac{qB}{m}v_{x}$, и $\frac{dv_{z} }{dt} = 0$

Здесь $v_{x} = \dot{x}, v_{y} = \dot{y}, v_{z} = \dot{z}$. Последнее уравнение легко интегрировать;

$v_{z} = const = 0$,

так как $v_{z}$ равно нулю. Таким образом, интегрируя снова,

$z = const = 0$,

и движение ограничивается плоскостью х - у. Теперь умножим второе уравнение на $i$ и добавим к первому уравнению.

$\mathcal{E} = v_{x} + iv_{y}$

мы получим уравнение,

$\frac{d \mathcal{E} }{dt} = i \omega \frac{E}{B} - i \omega \mathcal{E}, \omega = \frac{qB}{m}$.

Это уравнение после умножения на $e^{ i \omega t}$ может быть переписано как

$\frac{d}{dt} ( \mathcal{E} e^{ i \omega t} ) = i \omega e^{ i \omega t} \frac{E}{B}$

и интегрирование, дает,

$\mathcal{E} = \frac{E}{B} + C e^{- i \omega t - i \alpha} $,

где $C$ и $\alpha$ - две вещественные константы. Беря реальные и мнимые части.

$v_{x} = \frac{E}{B} + C \cos ( \omega t + \alpha)$ и $v_{y} = - C \sin ( \omega t + \alpha)$

Поскольку $v_{y} = 0$, когда $t = 0$, мы можем взять $\alpha = 0$, то $v_{x} = 0$ в $t = 0$ дает $C = - \frac{E}{B}$ и мы получаем,

$v_{x} = \frac{E}{B} (1 - \cos \omega t)$ и $v_{y} = \frac{E}{B} \sin \omega t$.

Интегрируя снова и используя $x = y = 0$, при $t = 0$ получаем

$x(t) = \frac{E}{B} \left ( t - \frac{ \sin \omega t }{ \omega } \right ), y(t)= \frac{E}{ \omega B} (1 - \cos \omega t)$,

Это уравнение циклоиды.

(б) Скорость равна нулю, когда $\omega t = 2 n \pi$. Мы видим, что

$v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} = \left ( \frac{E}{B} \right )^{2} (2 - 2 \cos \omega t)$

или, $v = \frac{ds}{dt} = \frac{2E}{B} \left | \sin \frac{ \omega t}{2} \right |$

Величина внутри модуля положительна при $0 < \omega t < 2 \pi$. Таким образом, мы можем отказаться от модуля и написать для расстояния, пройденного между двумя последовательными нулями скорости.

$S = \frac{2E}{ \omega B} \left ( 1- \cos \frac{ \omega t}{2} \right )$

Подставляя $\omega t = 2 \pi$, получим

$S = \frac{8E}{ \omega B} = \frac{8mE}{qB^{2} }$

(в) Скорость дрейфа находится в направлении х и имеет величину,

$\langle v_{x} \rangle = \langle \frac{E}{B} (1 - \cos \omega t) \rangle = \frac{E}{B}$.