ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
С поверхности цилиндрического провода радиуса $a$, по которому течет постоянный ток $I$, вылетает электрон с начальной скоростью $v_{0}$, перпендикулярной к поверхности провода. Найти, на какое максимальное расстояние удалится электрон от оси провода, прежде чем повернуть обратно под действием магнитного поля тока.


Решение:


Выберем провод вдоль оси z и начальное направление электрона вдоль оси х. Тогда магнитное поле в плоскости x - z находится вдоль оси y и вне проводника,

$B = B_{y} = \frac{ \mu_{0}I }{2 \pi x}$, ($B_{x} = B_{z} = 0$, если $y = 0$)

Движение должно быть ограничено плоскостью x-z. Тогда уравнения движения,

$\frac{d}{dt} mv_{x} = -ev_{z}B_{y}$
$\frac{d(mv_{z} ) }{dt} = + ev_{x}B_{y}$

Умножая первое уравнение на $v_{x}$, а второе на $v_{z}$, и тогда,

$v_{x} \frac{dv_{x}}{dt} + v_{z} \frac{dv_{z} }{dt} = 0$

или, $v_{x}^{2} + v_{z}^{2} = v_{0}^{2}$, say, или, $v_{z} = \sqrt{v_{0}^{2} - v_{x}^{2} }$

Отсюда, $v_{x} \frac{dv_{x} }{dx} = - \frac{e}{m} \sqrt{v_{0}^{2} - v_{x}^{2} } \frac{ \mu_{0}I }{2 \pi x}$

или, $- \frac{v_{x}dv_{x} }{ \sqrt{ v_{0}^{2} - v_{x}^{2} } } = \frac{ \mu_{0}Ie }{2 \pi m} \frac{dx}{x}$

Интегрирую, $\sqrt{v_{0}^{2} - v_{x}^{2} } = \frac{ \mu_{0}Ie }{2 \pi m} ln \frac{x}{a}$

при использовании $v_{x} = v_{0}$, если $x = a$ (т.е. первоначально).

Тогда, $v_{x} = 0$, когда $x = x_{m}$,

Итак, $x_{m} = ae_{0}^{v_{0}/b }$, где $b = \frac{ \mu_{0}Ie }{2 \pi m}$.