ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Заряженная частица движется по окружности радиуса $r = 100 мм$ в однородном магнитном поле с индукцией $B = 10,0 мТ$. Найти ее скорость и период обращения, если частицей является:
а) нерелятивистский протон;
б) релятивистский электрон.


Решение:


(а) При движении по кругу магнитная сила, действующая на частицу, обеспечивает центростремительную силу, необходимую для кругового движения.

то есть $\frac{mv^{2} }{R} = evB$ или, $v = \frac{eBR}{m}$

и период обращения $T = \frac{2 \pi}{ \omega }= \frac{2 \pi R}{ v} = \frac{2 \pi m}{eB}$

(б) Вообщем, $\frac{d \vec{p}}{dt} = \vec{F}$

Но, $\frac{d \vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt} \frac{m_{0} \vec{v} }{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2} } } = \frac{m_{0} \vec{ \dot{v}} }{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2} } } + \frac{m_{0} }{ (1 - (v^{2}/c^{2} ) )^{3/2} } \frac{ \vec{v} ( \vec{v} \cdot \vec{ \dot{v}} ) }{c}$

Для поперечного движения $\vec{v} \cdot \vec{ \dot{v}} = 0$, поэтому,

$\frac{d \vec{p}}{dt} = \frac{m_{0} \vec{ \dot{v}} }{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2} } } = \frac{m_{0} }{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2} } } \frac{ v^{2} }{r}$, здесь.

Таким образом, $\frac{m_{0} v^{2} }{r \sqrt{1 - v^{2}/c^{2} } } = Bev$ или, $\frac{v/c}{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2} } } \frac{Ber }{m_{0}c }$,

или, $\frac{v}{c} = \frac{Ber}{ \sqrt{B^{2}e^{2}r^{2} + m_{0}^{2}c^{2} } }$

Окончательно, $T = \frac{2 \pi r}{v} = \frac{2 \pi m_{0} }{eB \sqrt{1 - v^{2}/c^{2} } } = \frac{2 \pi}{cBe} \sqrt{B^{2}e^{2}r^{2} + m_{0}^{2}c^{2} }$