ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Релятивистский протон в момент $t = 0$ влетел со скоростью $\vec{v}_{0}$ в область, где имеется поперечное однородное электрическое поле напряженности $\vec{E}$, причем $\vec{v}_{0} \perp \vec{E}$. Найти зависимость от времени:
а) угла $\theta$ между вектором скорости $\vec{v}$ протона и первоначальным направлением его движения;
б) проекции $v_{x}$ вектора $\vec{v}$ на первоначальное направление движения.


Решение:


Уравнения,

$\frac{d}{dt} \left ( \frac{m_{0}v_{x} }{ \sqrt{1 - (v^{2}/c^{2} ) } } \right ) = 0$ и $ \frac{d}{dt} \left ( \frac{m_{0}v_{y} }{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2} } } \right ) = eE$

Следовательно, $\frac{v_{x} }{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2} } } = const = \frac{v_{0} }{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2} } }$

Тогда, из сохранения энергии

$\frac{m_{0}c^{2} }{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2} } } = \frac{m_{0}c^{2} }{ \sqrt{1 - v_{0}^{2}/c^{2} } } + eEy$

Разделив $v_{x} = \frac{v_{0} \epsilon_{0} }{ \epsilon_{0} + eEy }, \epsilon_{0} = \frac{m_{0}c^{2} }{ \sqrt{1 - v_{0}^{2}/c^{2} } }$

Получим, $\frac{m_{0} }{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2} } } = \frac{ \epsilon_{0} + eEy }{c^{2} }$

Таким образом, $( \epsilon_{0} + eEy ) v_{y} = c^{2}eEt + const$

"Const = 0 как $v_{y} = 0$ $t = 0 $

Интегрируя снова,

$\epsilon_{0}y + \frac{1}{2} eEy^{2} = \frac{1}{2} c^{2}Et^{2} + const$.

«Постоянная» = 0 при $y = 0$ при $t = 0$.

Таким образом, $(ceEt)^{2} = (eyE)^{2}+ 2 \epsilon_{0} eEy + \epsilon_{0}^{2} - \epsilon_{0}^{2}$

или, $ceEt = \sqrt{ ( \epsilon_{0} + eEy )^{2} - \epsilon_{0}^{2}}$

или, $\epsilon_{0} + eEy = \sqrt{ \epsilon_{0}^{2} + c^{2}e^{2}E^{2}t^{2} }$

Следовательно, $v_{x} = \frac{v_{0} \epsilon_{0} }{ \sqrt{ \epsilon_{0}^{2} + c^{2}e^{2}E^{2}t^{2} } }$ а также, $v_{y} = \frac{c^{2}eEt }{ \sqrt{ \epsilon_{0}^{2} + c^{2}e^{2}E^{2}t^{2} }} $

и $tg \theta = \frac{v_{y} }{v_{x} } = \frac{eEt}{m_{0}v_{0} } \sqrt{1 - (v_{0}^{2} / c^{2} ) }$.