Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7670
2018-05-14 
Точечный заряд $q$ движется равномерно и прямолинейно с релятивистской скоростью, составляющей $\beta$-часть скорости света ($\beta = v/c$). Найти напряженность $\vec{E}$ электрического поля этого заряда в точке, радиус-вектор которой относительно заряда равен $\vec{r}$ и составляет угол $\theta$ с вектором его скорости.
Решение:
Предположим, что заряд $q$ движется в положительном направлении оси х системы отсчета K. Перейдем к движущейся системе $K^{ \prime}$, в которой заряд покоится. Мы берем оси $x$ и $x^{ \prime}$ двух систем отсчета, чтобы они совпадали, а оси $y$ & $y^{ \prime}$ были параллельными.
В $K^{ \prime}$-системе $\vec{E} = \frac{1}{ 4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q \vec{r}^{ \prime} }{r^{ \prime 3} }$,
и они имеет следующие компоненты:
$E_{x}^{ \prime} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{qx^{ \prime} }{r^{ \prime 3} }, E_{y}^{ \prime} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{qy^{ \prime} }{r^{ \prime 3} }$.
Теперь вернемся в K-систему. В тот момент, когда начало двух систем отсчета совпадает, возьмем $t = 0$. Тогда,
$x = r \cos \theta = x^{ \prime} \sqrt{1 - v^{2}/c^{2} }, y = r \sin \theta = y^{ \prime}$
Также, $E_{x} = E_{x}^{ \prime}, E_{y} = E_{y}^{ \prime} / \sqrt{1 - v^{2}/c^{2} }$
Из этих уравнений $r^{ \prime 2} = \frac{r^{2} (1 - \beta^{2} \sin^{2} \theta ) }{ 1- \beta^{2} }$
$\vec{E} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{1}{ r^{3} (1 - \beta^{2} \sin^{2} \theta )^{3/2} } \left [ (1 - \beta^{2} )^{3/2} \left ( x^{ \prime} \hat{i} + \frac{ y^{ \prime} }{ \sqrt{1 - \beta^{2} } } \hat{j} \right ) \right ] = \frac{q \vec{r} (1 - \beta^{2} ) }{ 4 \pi \epsilon_{0} r^{3} (1 - \beta^{2} \sin^{2} \theta )^{3/2} }$
Точечный заряд $q$ движется равномерно и прямолинейно с релятивистской скоростью, составляющей $\beta$-часть скорости света ($\beta = v/c$). Найти напряженность $\vec{E}$ электрического поля этого заряда в точке, радиус-вектор которой относительно заряда равен $\vec{r}$ и составляет угол $\theta$ с вектором его скорости.
Решение:
Предположим, что заряд $q$ движется в положительном направлении оси х системы отсчета K. Перейдем к движущейся системе $K^{ \prime}$, в которой заряд покоится. Мы берем оси $x$ и $x^{ \prime}$ двух систем отсчета, чтобы они совпадали, а оси $y$ & $y^{ \prime}$ были параллельными.
В $K^{ \prime}$-системе $\vec{E} = \frac{1}{ 4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q \vec{r}^{ \prime} }{r^{ \prime 3} }$,
и они имеет следующие компоненты:
$E_{x}^{ \prime} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{qx^{ \prime} }{r^{ \prime 3} }, E_{y}^{ \prime} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{qy^{ \prime} }{r^{ \prime 3} }$.
Теперь вернемся в K-систему. В тот момент, когда начало двух систем отсчета совпадает, возьмем $t = 0$. Тогда,
$x = r \cos \theta = x^{ \prime} \sqrt{1 - v^{2}/c^{2} }, y = r \sin \theta = y^{ \prime}$
Также, $E_{x} = E_{x}^{ \prime}, E_{y} = E_{y}^{ \prime} / \sqrt{1 - v^{2}/c^{2} }$
Из этих уравнений $r^{ \prime 2} = \frac{r^{2} (1 - \beta^{2} \sin^{2} \theta ) }{ 1- \beta^{2} }$
$\vec{E} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{1}{ r^{3} (1 - \beta^{2} \sin^{2} \theta )^{3/2} } \left [ (1 - \beta^{2} )^{3/2} \left ( x^{ \prime} \hat{i} + \frac{ y^{ \prime} }{ \sqrt{1 - \beta^{2} } } \hat{j} \right ) \right ] = \frac{q \vec{r} (1 - \beta^{2} ) }{ 4 \pi \epsilon_{0} r^{3} (1 - \beta^{2} \sin^{2} \theta )^{3/2} }$
