Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7668
2018-05-14 
Электромагнитное поле имеет две инвариантные величины. Показать с помощью формул преобразования (З.би), что такими величинами являются:
а) $\vec{E} \vec{B}$; б) $E^{2} - c^{2}B^{2}$.
Решение:
(а) Мы видим, что $\vec{E}^{ \prime} \cdot \vec{B}^{ \prime} = \vec{E}_{ \parallel}^{ \prime} + \vec{E}_{ \perp}^{ \prime} \cdot \vec{B}_{ \perp}^{ \prime} = \vec{E}_{ \parallel} \cdot \vec{B}_{ \parallel} + \frac{ ( \vec{E}_{ \perp} + \vec{v} \times \vec{B} ) \left ( \vec{B}_{ \perp} - \frac{ \vec{v} \times \vec{E} }{c^{2} } \right ) }{ 1 - \frac{ v^{2} }{c^{2} } } = \vec{E}_{ \parallel} \cdot \vec{B}_{ \parallel} + \frac{ \vec{E}_{ \perp} \cdot \vec{B}_{ \perp} - ( \vec{v} \times \vec{B} ) \cdot ( \vec{v} \times \vec{E} )/c^{2} }{1 - v^{2}/c^{2} } = \vec{E}_{ \parallel} \cdot \vec{B}_{ \parallel} + \frac{ \vec{E}_{ \perp} \cdot \vec{B}_{ \perp} - ( \vec{v} \times \vec{B}_{ \perp} ) \cdot ( \vec{v} \times \vec{E}_{ \perp} )/c^{2} }{1 - v^{2}/c^{2} }$
Но, $\vec{A} \times \vec{B} \cdot \vec{C} \times \vec{D} = A \cdot CB \cdot D - A \cdot DB \cdot C$,
Итак, $\vec{E}^{ \prime} \cdot \vec{B}^{ \prime} = \vec{E}_{ \parallel} \cdot \vec{B}_{ \parallel} + \vec{E}_{ \perp} \cdot \vec{B}_{ \perp} \frac{ 1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } }{ 1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } = \vec{E} \cdot \vec{B}$
(б) $E^{ \prime 2} - c^{2} B^{ \prime 2} = E_{ \parallel}^{ \prime 2} - c^{2} B_{ \parallel}^{ \prime 2} + E_{ \perp}^{ \prime 2} 0 c^{2}B_{ \perp}^{ \prime 2} = E_{ \parallel}^{2} - c^{2}B_{ \parallel}^{2} + \frac{1}{1 - v^{2}/c^{2} } \left [ E_{ \perp}^{2} - c^{2}B_{ \perp}^{2} + ( \vec{v} \times \vec{B}_{ \perp} )^{2} - \frac{1}{c^{2} } ( \vec{v} \times E_{1} )^{2} \right ] = E_{ \parallel}^{2} - c^{2}B_{ \parallel}^{2} + \frac{1}{1 - v^{2}/c^{2} } [ E_{ \perp}^{2} - c^{2}B_{ \perp}^{2} ] \left ( 1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } \right ) = E^{2} - c^{2}B^{2}$,
так как $( \vec{v} \times A_{ \perp})^{2} = v^{2}A_{ \perp}^{2}$
Электромагнитное поле имеет две инвариантные величины. Показать с помощью формул преобразования (З.би), что такими величинами являются:
а) $\vec{E} \vec{B}$; б) $E^{2} - c^{2}B^{2}$.
Решение:
(а) Мы видим, что $\vec{E}^{ \prime} \cdot \vec{B}^{ \prime} = \vec{E}_{ \parallel}^{ \prime} + \vec{E}_{ \perp}^{ \prime} \cdot \vec{B}_{ \perp}^{ \prime} = \vec{E}_{ \parallel} \cdot \vec{B}_{ \parallel} + \frac{ ( \vec{E}_{ \perp} + \vec{v} \times \vec{B} ) \left ( \vec{B}_{ \perp} - \frac{ \vec{v} \times \vec{E} }{c^{2} } \right ) }{ 1 - \frac{ v^{2} }{c^{2} } } = \vec{E}_{ \parallel} \cdot \vec{B}_{ \parallel} + \frac{ \vec{E}_{ \perp} \cdot \vec{B}_{ \perp} - ( \vec{v} \times \vec{B} ) \cdot ( \vec{v} \times \vec{E} )/c^{2} }{1 - v^{2}/c^{2} } = \vec{E}_{ \parallel} \cdot \vec{B}_{ \parallel} + \frac{ \vec{E}_{ \perp} \cdot \vec{B}_{ \perp} - ( \vec{v} \times \vec{B}_{ \perp} ) \cdot ( \vec{v} \times \vec{E}_{ \perp} )/c^{2} }{1 - v^{2}/c^{2} }$
Но, $\vec{A} \times \vec{B} \cdot \vec{C} \times \vec{D} = A \cdot CB \cdot D - A \cdot DB \cdot C$,
Итак, $\vec{E}^{ \prime} \cdot \vec{B}^{ \prime} = \vec{E}_{ \parallel} \cdot \vec{B}_{ \parallel} + \vec{E}_{ \perp} \cdot \vec{B}_{ \perp} \frac{ 1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } }{ 1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } = \vec{E} \cdot \vec{B}$
(б) $E^{ \prime 2} - c^{2} B^{ \prime 2} = E_{ \parallel}^{ \prime 2} - c^{2} B_{ \parallel}^{ \prime 2} + E_{ \perp}^{ \prime 2} 0 c^{2}B_{ \perp}^{ \prime 2} = E_{ \parallel}^{2} - c^{2}B_{ \parallel}^{2} + \frac{1}{1 - v^{2}/c^{2} } \left [ E_{ \perp}^{2} - c^{2}B_{ \perp}^{2} + ( \vec{v} \times \vec{B}_{ \perp} )^{2} - \frac{1}{c^{2} } ( \vec{v} \times E_{1} )^{2} \right ] = E_{ \parallel}^{2} - c^{2}B_{ \parallel}^{2} + \frac{1}{1 - v^{2}/c^{2} } [ E_{ \perp}^{2} - c^{2}B_{ \perp}^{2} ] \left ( 1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } \right ) = E^{2} - c^{2}B^{2}$,
так как $( \vec{v} \times A_{ \perp})^{2} = v^{2}A_{ \perp}^{2}$
