Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7653
2018-05-14 
Точечный заряд $q$ движется с нерелятивистской скоростью $\vec{v} = const$. Воспользовавшись теоремой о циркуляции вектора $\vec{H}$ по пунктирной окружности (рис.), найти $\vec{H}$ в точке А как функцию радиус-вектора $\vec{r}$ и скорости $\vec{v}$ заряда.
Решение:
Используем уравнения Максвелла в виде,
$\oint \vec{B} \cdot d \vec{r} = \epsilon_{0} \mu_{0} \frac{ \partial }{ \partial t} \int \vec{E} \cdot d \vec{E}$,
когда ток проводимости обращается в нуль на участке. Зная это, получаем
$\int \vec{E} \cdot d \vec{S} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} } \int \frac{ d \vec{S} \cdot \hat{r} }{r^{2} } = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} } \int d \Omega = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} } 2 \pi (1 - \cos \theta)$
где $2 \pi (1 - \cos \theta)$ - телесный угол, образованный поверхностью диска.
Таким образом, $\oint \vec{B} \cdot d \vec{r} = 2 \pi aB = \frac{1}{2} \mu_{0} q \sin \theta \cdot \dot{ \theta}$
С другой стороны, $x = a cot \theta$
дифференцируя и используя $\frac{dx}{dt} = - v$,
$v = a cosec^{2} \theta \dot{ \theta}$
Таким образом, $B = \frac{ \mu_{0} qv r \sin \theta }{4 \pi r^{2} }$
Это можно записать так: $\vec{B} = \frac{ \mu_{0}q ( \vec{v} \times \vec{r} ) }{ 4 \pi r^{2} }$
и $\vec{H} = \frac{q}{4 \pi} \frac{ \vec{v} \times \vec{r} }{r^{3} }$
Точечный заряд $q$ движется с нерелятивистской скоростью $\vec{v} = const$. Воспользовавшись теоремой о циркуляции вектора $\vec{H}$ по пунктирной окружности (рис.), найти $\vec{H}$ в точке А как функцию радиус-вектора $\vec{r}$ и скорости $\vec{v}$ заряда.
Решение:
Используем уравнения Максвелла в виде,
$\oint \vec{B} \cdot d \vec{r} = \epsilon_{0} \mu_{0} \frac{ \partial }{ \partial t} \int \vec{E} \cdot d \vec{E}$,
когда ток проводимости обращается в нуль на участке. Зная это, получаем
$\int \vec{E} \cdot d \vec{S} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} } \int \frac{ d \vec{S} \cdot \hat{r} }{r^{2} } = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} } \int d \Omega = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} } 2 \pi (1 - \cos \theta)$
где $2 \pi (1 - \cos \theta)$ - телесный угол, образованный поверхностью диска.
Таким образом, $\oint \vec{B} \cdot d \vec{r} = 2 \pi aB = \frac{1}{2} \mu_{0} q \sin \theta \cdot \dot{ \theta}$
С другой стороны, $x = a cot \theta$
дифференцируя и используя $\frac{dx}{dt} = - v$,
$v = a cosec^{2} \theta \dot{ \theta}$
Таким образом, $B = \frac{ \mu_{0} qv r \sin \theta }{4 \pi r^{2} }$
Это можно записать так: $\vec{B} = \frac{ \mu_{0}q ( \vec{v} \times \vec{r} ) }{ 4 \pi r^{2} }$
и $\vec{H} = \frac{q}{4 \pi} \frac{ \vec{v} \times \vec{r} }{r^{3} }$
