ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-14   
Небольшой цилиндрический магнит М (рис.) находится в центре тонкой катушки радиуса $a$, состоящей из $N$ витков. Катушка подключена к баллистическому гальванометру. Активное сопротивление всей цепи равно $R$. Найти магнитный момент магнита, если при его удалении из катушки через гальванометр прошло количество электричества $q$.



Решение:



Пусть $\vec{p}_{m}$ - магнитный момент магнита $M$. Тогда магнитное поле, обусловленное этим магнитом,

$\frac{ \mu_{0} }{4 \pi} \left [ \frac{3 ( \vec{p}_{m} \cdot \vec{r} ) }{r^{5} } - \frac{ \vec{p}_{m}}{r^{3} } \right ]$.

Поток, связанный с ним, когда магнит находится вдоль оси на расстоянии $x$ от центра, равен

$\Phi = \frac{ \mu_{0} }{4 \pi} \int \left [ \frac{3 ( \vec{p}_{m} \cdot \vec{r} ) }{r^{5} } - \frac{ \vec{p}_{m}}{r^{3} } \right ] \cdot d \vec{S} = \Phi_{1} - \Phi_{2}$.

где $\Phi_{2} = \frac{ \mu_{0} }{4 \pi} p_{m} \int_{0}^{a} \frac{2 \pi \rho d \rho}{ (x^{2} + \rho^{2} )^{3/2} } = \frac{ \mu_{0}p_{m} }{2} \left ( \frac{1}{x} - \frac{1}{ \sqrt{x^{2} + a^{2} } } \right )$

и $\Phi_{1} = \frac{3 \mu_{0}p_{m}x^{2} }{4 \pi} \int_{0}^{a} \frac{2 \pi \rho d \rho}{ (x^{2} + \rho^{2} )^{5/2} } = \frac{ \mu_{0}p_{m}x^{2} }{2} \left ( \frac{1}{x^{3} } - \frac{1}{ (x^{2} + a^{2} )^{3/2} } \right )$

Итак, $\Phi = \frac{ - \mu_{0} p_{m}a^{2} }{2(x^{2} + a^{2} )^{3/2} }$

Когда поток меняется, ЭДС $- N \frac{d \Phi}{dt}$, а протекающий ток $- \frac{N}{r} \frac{d \Phi}{dt}$. Полный заряд $q$, течет, так что магнит удаляется до бесконечности от $x = 0$,

$q = \frac{N}{R} \Phi ( x = 0) = \frac{N}{R} \frac{ \mu_{0} p_{m} }{2a}$

или, $p_{m} = \frac{2aqR}{N \mu_{0} }$