Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7600
2018-05-14 
Имеется длинный прямой проводник с током $I_{0}$. На расстояниях $a$ и $b$ от него расположены два параллельных ему провода, замкнутых на одном конце сопротивлением $R$ (рис.). По проводам без трения перемещают с постоянной скоростью $v$ стержень-перемычку. Пренебрегая сопротивлением проводов, стержня и скользящих контактов, найти:
а) значение и направление индукционного тока в стержне;
б) силу, необходимую для поддержания постоянства скорости стержня.
Решение:
Поскольку $\vec{B}$, от проводника с током, изменяется вдоль стержня линейно, поэтому, чтобы сделать расчеты простыми, $\vec{B}$ сделаем постоянным, принимая его среднее значение в диапазоне $[a, b]$.
$\langle B \rangle = \frac{ \int_{a}^{b} B dr }{ \int_{a}^{b}} dr = \frac{ \int_{a}^{b} \frac{ \mu_{0} }{2 \pi} \frac{i_{0} }{r} dr }{ \int_{a}^{b} dr }$
или, $\langle B \rangle = \frac{ \mu_{0} }{2 \pi} \frac{i_{0} }{(b - 1)} ln \frac{b}{a}$
(a) Поток $\vec{B}$ изменяется через контур из-за перемещения соединителя. Согласно закону Ленца, ток в контуре будет течь против часовой стрелки. Величина ЭДС,
$\mathcal{E}_{ин} = v \langle B \rangle (b - a) = \frac{ \mu_{0} }{2 \pi} \frac{i_{0} }{(b - a)} ln \frac{b}{a} (b - a) \frac{dx}{dt} = \frac{ \mu_{0} }{2 \pi} i_{0} ln \frac{b}{a} v$
Таким образом, индуцированный ток
$i_{ин} = \frac{ \mathcal{E}_{ин} }{R} = \frac{ \mu_{0} }{2 \pi} \frac{i_{0}v }{R} ln \frac{b}{a}$
(б) Сила, необходимая для поддержания постоянной скорости соединителя, должна быть равна по величине силе Ампера, действующей на соединитель, но противоположна по направлению.
Итак, $F_{внеш} = i_{ин} l \langle B \rangle = \left ( \frac{ \mu_{0} }{2 \pi} \frac{i_{0}v }{R} ln \frac{b}{a} \right )(b - a) \left ( \frac{ \mu_{0} }{2 \pi} \frac{i_{0} }{(b - a)} ln \frac{b}{a} \right ) = \frac{v}{R} \left ( \frac{ \mu_{0} }{2 \pi} i_{0} ln \frac{b}{a} \right )^{2}$, и будет направлена, как показано на рис.
Имеется длинный прямой проводник с током $I_{0}$. На расстояниях $a$ и $b$ от него расположены два параллельных ему провода, замкнутых на одном конце сопротивлением $R$ (рис.). По проводам без трения перемещают с постоянной скоростью $v$ стержень-перемычку. Пренебрегая сопротивлением проводов, стержня и скользящих контактов, найти:
а) значение и направление индукционного тока в стержне;
б) силу, необходимую для поддержания постоянства скорости стержня.
Решение:
Поскольку $\vec{B}$, от проводника с током, изменяется вдоль стержня линейно, поэтому, чтобы сделать расчеты простыми, $\vec{B}$ сделаем постоянным, принимая его среднее значение в диапазоне $[a, b]$.
$\langle B \rangle = \frac{ \int_{a}^{b} B dr }{ \int_{a}^{b}} dr = \frac{ \int_{a}^{b} \frac{ \mu_{0} }{2 \pi} \frac{i_{0} }{r} dr }{ \int_{a}^{b} dr }$
или, $\langle B \rangle = \frac{ \mu_{0} }{2 \pi} \frac{i_{0} }{(b - 1)} ln \frac{b}{a}$
(a) Поток $\vec{B}$ изменяется через контур из-за перемещения соединителя. Согласно закону Ленца, ток в контуре будет течь против часовой стрелки. Величина ЭДС,
$\mathcal{E}_{ин} = v \langle B \rangle (b - a) = \frac{ \mu_{0} }{2 \pi} \frac{i_{0} }{(b - a)} ln \frac{b}{a} (b - a) \frac{dx}{dt} = \frac{ \mu_{0} }{2 \pi} i_{0} ln \frac{b}{a} v$
Таким образом, индуцированный ток
$i_{ин} = \frac{ \mathcal{E}_{ин} }{R} = \frac{ \mu_{0} }{2 \pi} \frac{i_{0}v }{R} ln \frac{b}{a}$
(б) Сила, необходимая для поддержания постоянной скорости соединителя, должна быть равна по величине силе Ампера, действующей на соединитель, но противоположна по направлению.
Итак, $F_{внеш} = i_{ин} l \langle B \rangle = \left ( \frac{ \mu_{0} }{2 \pi} \frac{i_{0}v }{R} ln \frac{b}{a} \right )(b - a) \left ( \frac{ \mu_{0} }{2 \pi} \frac{i_{0} }{(b - a)} ln \frac{b}{a} \right ) = \frac{v}{R} \left ( \frac{ \mu_{0} }{2 \pi} i_{0} ln \frac{b}{a} \right )^{2}$, и будет направлена, как показано на рис.
