ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-08-20   
Частица движется в плоскости $xy$ с постоянным ускорением $w$, направление которого противоположно положительному направлению оси $y$. Уравнение траектории частицы имеет вид $y = ax – bx^{2}$, где $a$ и $b$ - положительные постоянные. Найти скорость частицы в начале координат.


Решение:


Модуль скорости частицы в начале координат равен:
$|v| = \sqrt{x^{2}_{x} + v_{y}^{2}}$
ускорение частицы равно:
$\vec{w} = - w_{y} = - \frac{dv_{y}}{dt} = - \frac{d}{dt} \left ( \frac{dy}{dt} \right ) = - \frac{d}{dt} \left (\frac{dy}{dt} \cdot \frac{dx}{dt} \right ) = - \left (\frac{d}{dt} \left (\frac{dy}{dt} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{d}{dt} \left (\frac{dx}{dt} \cdot \frac{dy}{dt} \right ) \right ) \right ) = - \left (\frac{dx}{dt} \cdot \frac{dx}{dt} \cdot \frac{d^{2}y}{dx^{2}} \right ) = - \frac{d^{2}y}{dx^{2}} \cdot v_{x}^{2} = + 2 \beta v_{x}^{2}$
Следовательно
$v_{x} = \sqrt{\frac{w}{2 \beta}}$
$v_{y} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = (\alpha – 2 \beta x) v_{x} = \alpha v_{x}|_{}$
$|v| = \sqrt{ \frac{w}{2 \beta} + \alpha^{2} v_{x}^{2}} = \sqrt{ \frac{w}{2 \beta} + \alpha^{2} \frac{w}{2 \beta}} = \sqrt{ \frac{w}{2 \beta} (1 + \alpha^{2})}$