Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7590
2018-05-14 
Тонкий проводник АС, изогнутый в форме полуокружности диаметра $d = 20 см$, вращают с постоянной угловой скоростью $\omega = 100 рад/с$ в однородном магнитном поле с индукцией $B = 5,0 мТ$ так, что $\vec{ \omega} \uparrow \uparrow \vec{B}$. Ось вращения проходит через конец А проводника и перпендикулярна к прямой АС (диаметру). Найти значение линейного интеграла $\int \vec{E} d \vec{r}$ (к вдоль проводника от точки А до точки С. Полученный результат обобщить.
Решение:
По определению,
$\vec{E} = - ( \vec{v} \times \vec{B} )$
Тогда, $\int_{A}^{C} \vec{E} \cdot d \vec{r} = \int_{A}^{C} - ( \vec{v} \times \vec{B} ) \cdot d \vec{r} = \int_{0}^{d} - vB dr$
Но, $v = \omega r$, где $r$ - перпендикулярное расстояние точки от A.
Следовательно, $\int_{A}^{C} \vec{E} \cdot d \vec{r} = \int_{0}^{d} - \omega Brdr = - \frac{1}{2} \omega B d^{2} = -10 мВ$
Этот результат можно обобщить на провод AC в произвольной формой. Имеем
$\int_{A}^{C} \vec{E} \cdot d \vec{r} = - \int_{A}^{C} ( \vec{v} \times \vec{B} ) \cdot d \vec{r} = - \int_{A}^{C} (( \omega \times \vec{r}) \times \vec{B}) \cdot d \vec{r} = - \int_{A}^{C} ( \vec{B} \cdot \vec{r} \vec{ \omega} - \vec{B} \cdot \vec{ \omega} \vec{r} ) \cdot d \vec{r} = - \frac{1}{2} B \omega d^{2}$,
$d$ является AC и $\vec{r}$, отсчитывается от A.
Тонкий проводник АС, изогнутый в форме полуокружности диаметра $d = 20 см$, вращают с постоянной угловой скоростью $\omega = 100 рад/с$ в однородном магнитном поле с индукцией $B = 5,0 мТ$ так, что $\vec{ \omega} \uparrow \uparrow \vec{B}$. Ось вращения проходит через конец А проводника и перпендикулярна к прямой АС (диаметру). Найти значение линейного интеграла $\int \vec{E} d \vec{r}$ (к вдоль проводника от точки А до точки С. Полученный результат обобщить.
Решение:
По определению,
$\vec{E} = - ( \vec{v} \times \vec{B} )$
Тогда, $\int_{A}^{C} \vec{E} \cdot d \vec{r} = \int_{A}^{C} - ( \vec{v} \times \vec{B} ) \cdot d \vec{r} = \int_{0}^{d} - vB dr$
Но, $v = \omega r$, где $r$ - перпендикулярное расстояние точки от A.
Следовательно, $\int_{A}^{C} \vec{E} \cdot d \vec{r} = \int_{0}^{d} - \omega Brdr = - \frac{1}{2} \omega B d^{2} = -10 мВ$
Этот результат можно обобщить на провод AC в произвольной формой. Имеем
$\int_{A}^{C} \vec{E} \cdot d \vec{r} = - \int_{A}^{C} ( \vec{v} \times \vec{B} ) \cdot d \vec{r} = - \int_{A}^{C} (( \omega \times \vec{r}) \times \vec{B}) \cdot d \vec{r} = - \int_{A}^{C} ( \vec{B} \cdot \vec{r} \vec{ \omega} - \vec{B} \cdot \vec{ \omega} \vec{r} ) \cdot d \vec{r} = - \frac{1}{2} B \omega d^{2}$,
$d$ является AC и $\vec{r}$, отсчитывается от A.
