Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 759
2014-08-20 
Точка движется в плоскости $xy$ по закону $x =a \sin \omega t, y = a (1 - \cos \omega t)$, где $a$ и $\omega$ - положительные постоянные. Найти:
а) путь $s$, проходимый точкой за время $\tau$;
б) угол между векторами скорости и ускорения точки.
Решение:
a) $v = \frac{dx}{dt}$
$v_{x} = \frac{d}{dt} (a \sin \omega t) = a \omega \cos \omega t$
$v_{y} = \frac{d}{dt} (a - a \cos \omega t) = a \omega \sin \omega t $
$v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{a^{2}\omega^{2}(\sin^{2} \omega t + \cos^{2} \omega t) } = a \omega$
Т.к. $a$ и $\omega$ - постоянные, то $v$ - постоянная
Значит $S = \tau v = \tau a \omega$
б) $x = a \sin \omega t \Rightarrow \sin \omega t = \frac{x}{a}$
$y = a - a \cos \omega t \Rightarrow \cos \omega t = \frac{a - y}{a}$
$\sin^{2} \omega t + \cos^{2} \omega t = 1$ или $\left ( \frac{x}{a} \right )^{2} + \left ( \frac{a-y}{a} \right )^{2} = 1$
$x^{2} + (a-y)^{2} = a^{2}$
$x^{2} + (a-y)^{2} = a^{2}$ - уравнение окружности. Т.к. точка движется по окружности с постоянной скоростью, то вектор скорости перпендикулярен вектору ускорения $\alpha = \frac{\pi}{2}$.
Точка движется в плоскости $xy$ по закону $x =a \sin \omega t, y = a (1 - \cos \omega t)$, где $a$ и $\omega$ - положительные постоянные. Найти:
а) путь $s$, проходимый точкой за время $\tau$;
б) угол между векторами скорости и ускорения точки.
Решение:
a) $v = \frac{dx}{dt}$
$v_{x} = \frac{d}{dt} (a \sin \omega t) = a \omega \cos \omega t$
$v_{y} = \frac{d}{dt} (a - a \cos \omega t) = a \omega \sin \omega t $
$v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{a^{2}\omega^{2}(\sin^{2} \omega t + \cos^{2} \omega t) } = a \omega$
Т.к. $a$ и $\omega$ - постоянные, то $v$ - постоянная
Значит $S = \tau v = \tau a \omega$
б) $x = a \sin \omega t \Rightarrow \sin \omega t = \frac{x}{a}$
$y = a - a \cos \omega t \Rightarrow \cos \omega t = \frac{a - y}{a}$
$\sin^{2} \omega t + \cos^{2} \omega t = 1$ или $\left ( \frac{x}{a} \right )^{2} + \left ( \frac{a-y}{a} \right )^{2} = 1$
$x^{2} + (a-y)^{2} = a^{2}$
$x^{2} + (a-y)^{2} = a^{2}$ - уравнение окружности. Т.к. точка движется по окружности с постоянной скоростью, то вектор скорости перпендикулярен вектору ускорения $\alpha = \frac{\pi}{2}$.
